polynomdivision : linearfaktor < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mi 01.06.2005 | | Autor: | knerg |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
moin!
ich hab mal ne frage, und zwar geht es bei dem thema um polynomdiskussion..
polynomdiskussion wird ja bei termen von mindestens drittem grad verwendet, um nullstellen auszurechen.
aber : dafuer muss man erst eine nullstelle durch einfaches ausprobieren rauskriegen, um den lnearfaktor zu erhalten.
meine frage waere: gibt es da noch eine andere moeglichkeit fuer? ich habe naemlich keine lust in der klausr die aufgabe nich loesen zu lkoennen, weil mir die " intuition" gefehlt hat.
ich geb euch ein beispiel
[mm] x^3-5x-2x+24=0
[/mm]
durch einsetzen ergibt sich fuer eine nullstelle
x=-2
<=> x+2 =0
(linearfaktor)
anhand der polynomdivision krieg ich am ende raus, dass entweder x+2 oder [mm] x^2-7x+12 [/mm] =0 sind
aber das kam eben durch ausprobieren zustande wie gesagt.
waer nett wenn ihr mich mir helfen koenntet
mfg knerg
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Hallo!
> ich hab mal ne frage, und zwar geht es bei dem thema um
> polynomdiskussion..
> polynomdiskussion wird ja bei termen von mindestens
> drittem grad verwendet, um nullstellen auszurechen.
> aber : dafuer muss man erst eine nullstelle durch
> einfaches ausprobieren rauskriegen, um den lnearfaktor zu
> erhalten.
> meine frage waere: gibt es da noch eine andere
> moeglichkeit fuer? ich habe naemlich keine lust in der
> klausr die aufgabe nich loesen zu lkoennen, weil mir die "
> intuition" gefehlt hat.
>
> ich geb euch ein beispiel
> [mm]x^3-5x-2x+24=0[/mm]
>
> durch einsetzen ergibt sich fuer eine nullstelle
> x=-2
> <=> x+2 =0
> (linearfaktor)
>
> anhand der polynomdivision krieg ich am ende raus, dass
> entweder x+2 oder [mm]x^2-7x+12[/mm] =0 sind
>
> aber das kam eben durch ausprobieren zustande wie gesagt.
Sorry, ich versteh deine Frage nicht so ganz. Also die erste Nullstelle kann man meines Wissens nur raten. Ich habe es aber bei gestellten Aufgaben noch nie erlebt, dass diese nicht zu finden war. Man sollte mit 1 und -1 anfangen, wenn das nicht passt, dann vielleicht 2 oder -2, und in den seltensten Fällen vielleicht auch noch 3 oder -3 - an mehr kann ich mich aus meiner Mathelaufzeit nicht erinnern. Und diese Zahlen einsetzen, das müsstest du doch in einer Klausur auch schaffen, oder?
Und bei der Polynomdivision muss doch dann nicht mehr geraten werden. Da wird einfach gerechnet. Den zweiten Term, den du hier raushast kannst du noch mit der pq-Formel weiter berechnen, also die Nullstellen davon.
Was genau möchtest du jetzt noch wissen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also es geht auch ohne Raten, obwohl Raten ein angemessenes mathematisches Verfahren zur Lösungsbestimmung ist.
Bei Polynomen 3. Grad kann man die sogenannten Cardanischen Formeln verwenden, die allerdings dabei einen Ausflug ins Komplexe machen und auch nur für Polynome dritten Grades der Form
$f(x) = [mm] x^3 [/mm] +px+q$
gelten. Mit Raten ist man da sicherlich 10x schneller.
Sei also $f(x) = [mm] x^3 [/mm] +px+q$ gegeben.
Bestimme dann $D [mm] =\left( \frac{p}{3} \right)^3 [/mm] + [mm] \left( \frac{q}{2} \right)^2$.
[/mm]
Dann ermittele $ [mm] u_\pm [/mm] = [mm] \wurzel[3]{ - \frac{q}{2} \pm \sqrt{D}}$.
[/mm]
Dann ist $ [mm] x_1 [/mm] = u_+ + [mm] u_{-} [/mm] $ eine gesuchte Nullstelle.
Man beachte dabei, dass bei dem großen Wurzelausdruck auch D<0 angenommen werden darf, und man dann auf die komplexen Zahlen erweitert, was sich aber im Additionsschritt nachher wieder ins Reelle zurückfindet! Ausserdem beachte man, dass in der gegebenen Form keine quadratischen Terme auftauchen können!
Vielleicht noch ein paar Tipps zum Raten: Meistens ist eine Nullstelle ein Teiler des Absolutgliedes! Am besten immer erst 0,1,2,-1,-2 usw. probieren, wenn das Absolutglied eine ganze Zahl ist!
Gruß Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Mi 01.06.2005 | | Autor: | knerg |
danke, damit haettet ihr mir schon mal sehr geholfen, auch wenn ich mit micha´s antwort noch nicht soviel anfangen kann ( elfte klasse, und einen echt schlechten mathelehrer )
aber fuer spaeter hab ich mir das schon mal abgeschrieben..
schoenen abend noch
mfg knerg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Do 02.06.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> danke, damit haettet ihr mir schon mal sehr geholfen, auch
> wenn ich mit micha´s antwort noch nicht soviel anfangen
> kann ( elfte klasse, und einen echt schlechten mathelehrer
> )
Also ich denke nicht dass die Cardanischen Formeln Stoff aus der Schule sind. Ich habe es im ersten Semester des Mathestudiums gehabt, weil über diese Cardanischen Formeln die komplexen Zahlen entstanden sein sollen. Eben aus dem Grund dass man "erstmal so tut" als könne man von negativen Zahlen die Wurzel ziehen, und dann feststellt, dass ich bei der Addition diesen Effekt wieder herausrechne, so als ob ich nie was "Verbotenes" gemacht habe ( Ja so dachte man früher *g)
> aber fuer spaeter hab ich mir das schon mal
> abgeschrieben..
Bitte bedenke aber dass diese Formel nur für Gleichungen 3. Grades der Form [mm] $x^3 [/mm] + px +q$ gilt, also ohne was Quadratisches dabei!
Wenn du magst kann ich dir auch noch eine Beispielaufgabe geben!
> schoenen abend noch
>
> mfg knerg
Gruß Micha
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Hallo knerg,
Micha und Bastiane kann ich nur zustimmen: Normalerweise ist die zu erratende Nullstelle in der Menge [mm] $\{-2; -1; 0; 1; 2\}$ [/mm] enthalten, wobei ich immer mit 1 beginnen würde.
Die Formeln zur Lösung einer Gleichung 3. Grades, die Micha erwähnt hat, funktionieren natürlich auch, sind aber oft sehr zeitaufwendig.
Ein weiteres Verfahren zu Bestimmung von Nullstellen bei Gleichungen höheren Grades ist das Newtonsche Näherungsverfahren (siehe  Mathe-Datenbank). Je nachdem, wie genau das Ergebnis sein soll, ist dieses Verfahren aber sehr zeitaufwendig.
Gruß Jürgen
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