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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Mo 07.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie: ist p ein Polynom mir reellen Koeffizienten und die Zahl z= x+iy [mm] \in \IC [/mm] eine Nullstell von p, dann ist auch [mm] \overline{z} [/mm] = x-iy eine Nullstelle von p.
b) Beweisen Sie, dass jedes reelle Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle hat.
c) Bestimmen Sie alle Polynome 5. Grades mit reellen Koeffizienten, die die Nullstellen 0, i, i+1 haben. |
hi,
wäre dankbar darüber erste hilfestellung zu bekommen. ich denke nur 1-2 ansätze würden mir schon sehr helfen. wir hatten nämlich erhoft, diese eigentlich von unserem tutor zu erhalten, aber er hatte es nicht zeitlich geschafft.
ich hoffe, ihr könnt mir diesbezüglich helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dilek,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Betrachte bei Aufgabe b.) die Grenzwerte für [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] bzw. [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] und verwende dann den Zwischenwertsatz.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mo 07.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
hmm, so ganz verstanden hab ich es leider nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
> hmm, so ganz verstanden hab ich es leider nicht :(
Also: du hast ein Polynom von ungraden Grad, etwa $f(x) = [mm] a_{2 n + 1} x^{2 n +1} [/mm] + [mm] a_{2 n} x^{2 n} [/mm] + [mm] \dots$ [/mm] mit [mm] $a_{2 n + 1} \neq [/mm] 0$. Berechne zuerst mal [mm] $\lim_{x \to \infty} [/mm] f(x)$ und [mm] $\lim_{x \to -\infty} [/mm] f(x)$; die Grenzwerte kannst du explizit angeben (wenn du eine Fallunterscheidung nach [mm] $a_{2n+1} [/mm] < 0$ und [mm] $a_{2n+1} [/mm] > 0$ machst). Was bekommst du hier heraus?
So. Jetzt zum Zwischenwertsatz. Weisst du, was dieser besagt? Wenn nicht, schau das mal nach. Um ihn anzuwenden, was benoetigst du da? Und was hat das evtl. mit den Limites gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] zu tun?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 07.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
wie kommt man denn auf diese gleichung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
> wie kommt man denn auf diese gleichung?
Genau so ist ein Polynom von ungraden Grad definiert.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 07.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
ahsooo, das wusste ich nicht.. danke nochmals, dann versuch ich mal jetzt selber weiter zu arbeiten, ich hoffe ich kriegs hin
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Geht das auch anders?
Meines erachtens dürfen wir den ZWS noch gar nicht verwenden, da er in der VL noch nicht gezeigt wurde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geht das auch anders?
> Meines erachtens dürfen wir den ZWS noch gar nicht
> verwenden, da er in der VL noch nicht gezeigt wurde.
Du kannst natuerlich den Beweis des Zwischenwertsatzes nachmachen und direkt hier einbauen. Damit haettest du den Satz umgangen. Oder irgendeinen anderen Satz (wohl ueber Umwege) anwenden. Der Standardbeweis von dieser Aussage geht halt ueber den Zwischenwertsatz...
Was fuer Saetze hattet ihr denn bisher so?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo delik!
In Verbindung mit Aufgabenteil a.) lässt sich die gesuchte Polynomfunktion mit den genannten Nullstellen auch wie folgt darstellen:
[mm] $p_5(x) [/mm] \ = \ [mm] a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f [/mm] \ = \ a*x*(x-i)*(x+i)*(x-1-i)*(x-1+i)$
Nun die Klammern ausmultiplizieren ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mo 07.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
wie bist du auf den zweiten teil der aufgabe c gekommen? ich kann es leider nicht ganz nachvollziehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dilek!
Wenn [mm] $x_0$ [/mm] eine Nullstelle des Polynoms $p(x)_$ ist, kann man diesen als Linearfaktor [mm] $\left(x-x_0\right)$ [/mm] aus dem Polynom "abspalten", z.B. durch eine  Polynomdivision.
Und das habe ich nun mit allen genannten Nullstellen sowie deren Konjugierten gemacht.
Und ein Polynom 5. Grades lässt sich in [mm] $\IC$ [/mm] in genau 5 Linearfaktoren zerlegen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> a) Zeigen Sie: ist p ein Polynom mir reellen Koeffizienten
> und die Zahl z= x+iy [mm]\in \IC[/mm] eine Nullstell von p, dann ist
> auch [mm]\overline{z}[/mm] = x-iy eine Nullstelle von p.
Sei $p(x) = [mm] \sum_{k=0}^n a_k x^k$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \IR$. [/mm] Jetzt ist $p(z) = 0$ mit $z = x + i y$, $x, y [mm] \in \IR$, [/mm] und du sollst zeigen, dass [mm] $p(\overline{z}) [/mm] = p(x - i y) = 0$ ist. Du kannst das jetzt loesen, indem du beides einsetzt, das ganze jeweils ausrechnest (ist ekelig) und benutzt, dass eine komplexe Zahl $a + i b$, $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] genau dann $0$ ist, wenn $a = 0$ und $b = 0$ sind.
Alternativ kannst du benutzen, dass [mm] $\overline{a + b} [/mm] = [mm] \overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b}$ [/mm] und [mm] $\overline{a * b} [/mm] = [mm] \overline{a} [/mm] * [mm] \overline{b}$ [/mm] fuer alle $a, b [mm] \in \IC$ [/mm] gilt. Damit ist [mm] $p(\overline{z}) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n a_k \overline{z}^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n a_k \overline{z^k}$. [/mm] Und nun musst du noch benutzen, dass [mm] $a_k [/mm] = [mm] \overline{a_k}$ [/mm] und $0 = [mm] \overline{0}$ [/mm] ist (das gilt gerade fuer reelle Zahlen).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 07.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
wie soll ich das einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
> wie soll ich das einsetzen?
Einfach $p(z) = p(x + i y) = [mm] \sum_{k=0}^n a_k [/mm] (x - i [mm] y)^k$ [/mm] und das dann ausmultiplizieren (mit dem Binomischen Lehrsatz). Aber, wie schon gesagt, tu das lieber nicht...
Viel einfacher geht die zweite Methode, mach das lieber mit der. (Die Loesung steht da ja auch fast schon.)
LG Felix
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