polynomiale Funktionen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 07.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum aller rellen polynomialen Funktionen vom Grad [mm] \le2 [/mm] mit 0 als Nullstelle, d.h.
[mm] V=\{f:\IR \to \IR| \exists a,b \in \IR:\forall x \in \IR:f(x)=ax^{2}+bx \}.
[/mm]
Für jedes r [mm] \in \IR [/mm] sei [mm] z_{r}:V \to \IR, z_{r}(p)=p(r) [/mm] für alle p [mm] \in [/mm] V. Offenbar gilt [mm] z_{r} \in V\*.Man [/mm] beweise: [mm] (z_{1},z_{2}) [/mm] ist eine Basis von [mm] V\*). [/mm] |
Guten Abend,
ich habe versucht die Aufgabe zu lösen,bin aber nicht mehr weitergekommen.
Zunächst weiß ich,dass [mm] V\*=Hom(V,K)=Hom_{K}(V,K)=\{f:V \to K| f ist K-linear \}, [/mm] also [mm] V\* [/mm] ist der Dualraum.
Also muss ich doch zeigen,dass [mm] B:=(z_{1},z_{2}) [/mm] eine Basis von f:V [mm] \to [/mm] K| f ist K-linear ist.
Es ist [mm] z_{1}=V \to \IR [/mm] , [mm] z_{1}(p)=p(1), p\in [/mm] V und [mm] z_{2}=V \to \IR [/mm] , [mm] z_{2}(p)=p(2), p\in [/mm] V nach Definition.
Damit [mm] B=(z_{1},z_{2}) [/mm] eine Basis von [mm] V\* [/mm] ist, müssen 2 Dinge gelten:
1. B ist linear unabhängig, also [mm] r*z_{1}+s*z_{2}=0 [/mm] --> r=s=0.
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich das aufschreiben kann, bzw. was genau ich für [mm] z_{1},z_{2} [/mm] hinschreiben muss, denn das sind ja beides Abbildungen. Ich kann ja nicht schreiben:
r*(V [mm] \to \IR,z_{1}(p)=p(1))+s*(V \to \IR,z_{2}(p)=p(2))=0 [/mm] ?
2. B ist Erzeugendensystem von [mm] V\*, [/mm] also [mm] Lin_{K}(B)=V\*
[/mm]
Hier finde es immer schwierig zu zeige, dass etwas =ein ganzer Raum ist.
Irgendjemand hatte hier gesagt,dass man das mit der Invarianz der Basislänge begründen kann,aber ich verstehe nicht, wie das daraus folgt.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Di 07.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei V der Vektorraum aller rellen polynomialen Funktionen
> vom Grad [mm]\le2[/mm] mit 0 als Nullstelle, d.h.
> [mm]V=\{f:\IR \to \IR| \exists a,b \in \IR:\forall x \in \IR:f(x)=ax^{2}+bx \}.[/mm]
>
> Für jedes r [mm]\in \IR[/mm] sei [mm]z_{r}:V \to \IR, z_{r}(p)=p(r)[/mm]
> für alle p [mm]\in[/mm] V. Offenbar gilt [mm]z_{r} \in V\*.Man[/mm] beweise:
> [mm](z_{1},z_{2})[/mm] ist eine Basis von [mm]V\*).[/mm]
> Guten Abend,
>
> ich habe versucht die Aufgabe zu lösen,bin aber nicht mehr
> weitergekommen.
>
> Zunächst weiß ich,dass [mm]V\*=Hom(V,K)=Hom_{K}(V,K)=\{f:V \to K| f ist K-linear \},[/mm]
> also [mm]V\*[/mm] ist der Dualraum.
> Also muss ich doch zeigen,dass [mm]B:=(z_{1},z_{2})[/mm] eine Basis
> von f:V [mm]\to[/mm] K| f ist K-linear ist.
>
> Es ist [mm]z_{1}=V \to \IR[/mm] , [mm]z_{1}(p)=p(1), p\in[/mm] V und [mm]z_{2}=V \to \IR[/mm]
> , [mm]z_{2}(p)=p(2), p\in[/mm] V nach Definition.
>
> Damit [mm]B=(z_{1},z_{2})[/mm] eine Basis von [mm]V\*[/mm] ist, müssen 2
> Dinge gelten:
>
> 1. B ist linear unabhängig, also [mm]r*z_{1}+s*z_{2}=0[/mm] -->
> r=s=0.
>
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich das
> aufschreiben kann, bzw. was genau ich für [mm]z_{1},z_{2}[/mm]
> hinschreiben muss, denn das sind ja beides Abbildungen. Ich
> kann ja nicht schreiben:
> [mm]r*(V \to \IR,z_{1}(p)=p(1))+s*(V \to \IR,z_{2}(p)=p(2))=0[/mm]
> ?
Die Aussage [mm]r*z_{1}+s*z_{2}=0[/mm] bedeutet doch insbesondere, dass für jedes [mm] $p\in [/mm] V$ gilt:
[mm] r*z_{1}(p)+s*z_{2}(p)=0 [/mm]
Andererseits lässt sich jedes [mm] $p\in [/mm] V$ als [mm] $p(x)=ax^{2}+bx$ [/mm] schreiben.
Wenn du das ineinander einsetzt, bekommst du eine viel einfachere Bedingung.
> 2. B ist Erzeugendensystem von [mm]V\*,[/mm] also [mm]Lin_{K}(B)=V\*[/mm]
> Hier finde es immer schwierig zu zeige, dass etwas =ein
> ganzer Raum ist.
> Irgendjemand hatte hier gesagt,dass man das mit der
> Invarianz der Basislänge begründen kann,aber ich verstehe
> nicht, wie das daraus folgt.
Aus wievielen Elementen besteht eine Basis von V (nicht von [mm] $V^\ast$) [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Die Aussage [mm]r*z_{1}+s*z_{2}=0[/mm] bedeutet doch insbesondere,
> dass für jedes [mm]p\in V[/mm] gilt:
>
> [mm]r*z_{1}(p)+s*z_{2}(p)=0[/mm]
>
> Andererseits lässt sich jedes [mm]p\in V[/mm] als [mm]p(x)=ax^{2}+bx[/mm]
> schreiben.
>
> Wenn du das ineinander einsetzt, bekommst du eine viel
> einfachere Bedingung.
Ah, ok, habs hingekriegt.Danke.
>
> > 2. B ist Erzeugendensystem von [mm]V\*,[/mm] also [mm]Lin_{K}(B)=V\*[/mm]
> > Hier finde es immer schwierig zu zeige, dass etwas =ein
> > ganzer Raum ist.
> > Irgendjemand hatte hier gesagt,dass man das mit der
> > Invarianz der Basislänge begründen kann,aber ich verstehe
> > nicht, wie das daraus folgt.
>
> Aus wievielen Elementen besteht eine Basis von V (nicht von
> [mm]V^\ast[/mm]) ?
Also eine Basis von V besteht aus zwei Elementen,allgmein also [mm] B_{v}=\{a,b\}, [/mm] aber was bringt mir das,wenn ich das weiß.Ich versteh den Zusammenhang nicht ganz.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mi 08.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
>
> > Die Aussage [mm]r*z_{1}+s*z_{2}=0[/mm] bedeutet doch insbesondere,
> > dass für jedes [mm]p\in V[/mm] gilt:
> >
> > [mm]r*z_{1}(p)+s*z_{2}(p)=0[/mm]
> >
> > Andererseits lässt sich jedes [mm]p\in V[/mm] als [mm]p(x)=ax^{2}+bx[/mm]
> > schreiben.
> >
> > Wenn du das ineinander einsetzt, bekommst du eine viel
> > einfachere Bedingung.
>
> Ah, ok, habs hingekriegt.Danke.
Das brauchst du gleich nochmal für den 2. Teil...
> >
> > > 2. B ist Erzeugendensystem von [mm]V\*,[/mm] also [mm]Lin_{K}(B)=V\*[/mm]
> > > Hier finde es immer schwierig zu zeige, dass etwas
> =ein
> > > ganzer Raum ist.
> > > Irgendjemand hatte hier gesagt,dass man das mit der
> > > Invarianz der Basislänge begründen kann,aber ich verstehe
> > > nicht, wie das daraus folgt.
> >
> > Aus wievielen Elementen besteht eine Basis von V (nicht von
> > [mm]V^\ast[/mm]) ?
>
> Also eine Basis von V besteht aus zwei Elementen,allgmein
> also [mm]B_{v}=\{a,b\},[/mm] aber was bringt mir das,wenn ich das
> weiß.Ich versteh den Zusammenhang nicht ganz.
Stimmt nicht ganz, denn a und b sind keine Elemente von V, sondern Zahlen. Eine Basis wäre zum Beispiel [mm] $\{x,x^2\}$. [/mm] Auf jeden Fall hat V die Dimension 2.
Wichtig ist, dass V endlichdimensional ist. Dann hat [mm] $V^\ast$ [/mm] die gleiche Dimension wie V, also 2.
Wenn du nochmal die Überlegung aus Teil 1 hernimmst, dann siehst du, dass jede lineare Abbildung in [mm] $V^\ast$ [/mm] vollständig durch ihre Anwendung auf die zwei Elemente einer Basis von V definiert ist. Und da es sich bei den Elementen von [mm] $V^\ast$ [/mm] um lineare Abbildungen handelt, ist jede solche Abbildung in [mm] $V^\ast$ [/mm] eine Linearkombination zweier Elemente aus [mm] $V^\ast$. [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 12.12.2010 | | Autor: | Pumbaa |
>
> > Die Aussage [mm]r*z_{1}+s*z_{2}=0[/mm] bedeutet doch insbesondere,
> > dass für jedes [mm]p\in V[/mm] gilt:
> >
> > [mm]r*z_{1}(p)+s*z_{2}(p)=0[/mm]
> >
> > Andererseits lässt sich jedes [mm]p\in V[/mm] als [mm]p(x)=ax^{2}+bx[/mm]
> > schreiben.
> >
> > Wenn du das ineinander einsetzt, bekommst du eine viel
> > einfachere Bedingung.
>
> Ah, ok, habs hingekriegt.Danke.
Hallo!
Dazu habe ich noch mal eine Frage. So wie ich das jetzt verstanden habe - und ich finde es immer noch sehr ungriffig mit mit dem Dualraum oder überhaupt mit Mengen von Funktionen zu arbeiten - muss hier gezeigt werden, dass aus [mm] $r*z_{1}+s*z_{2}=0$ [/mm] folgt r=s=0. Da man außerdem weiß, dass
[mm] $z_{x} [/mm] = p(x)$ und
$p(x) = [mm] ax^{2} [/mm] + bx$ erhält man
$r*(a+b) + s*(4a+2b) = 0$
oder liege ich hier schon falsch?
Wenn nicht, dann müssen $a [mm] \not= [/mm] -b$ und $a [mm] \not= [/mm] - [mm] \bruch{b}{2}$ [/mm] gelten, da sonst eine nichttriviale Lösung existiert. Aber selbst dann kann man ja immer noch r und s so wählen, dass
$r= - s * [mm] \bruch{4a+2b}{a+b}$ [/mm]
und erhält immer noch eine nichttriviale Lösung. Ich komme also zu keinem Ergebnis.
Außerdem fällt mir die Vorstellung sehr schwer, dass zwei reelle Zahlen, die (a+b) und (4a+2b) ja sind, alle linearen Funktionen, also den Dualraum aufspannen sollen.
Ich hoffe mir kann jemand aus meiner Sackgasse helfen!
Gruß,
Pumbaa
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> >
> > > Die Aussage [mm]r*z_{1}+s*z_{2}=0[/mm] bedeutet doch insbesondere,
> > > dass für jedes [mm]p\in V[/mm] gilt:
> > >
> > > [mm]r*z_{1}(p)+s*z_{2}(p)=0[/mm]
> > >
> > > Andererseits lässt sich jedes [mm]p\in V[/mm] als [mm]p(x)=ax^{2}+bx[/mm]
> > > schreiben.
> > >
> > > Wenn du das ineinander einsetzt, bekommst du eine viel
> > > einfachere Bedingung.
> >
> > Ah, ok, habs hingekriegt.Danke.
>
> Hallo!
>
> Dazu habe ich noch mal eine Frage. So wie ich das jetzt
> verstanden habe - und ich finde es immer noch sehr
> ungriffig mit mit dem Dualraum oder überhaupt mit Mengen
> von Funktionen zu arbeiten - muss hier gezeigt werden, dass
> aus [mm]r*z_{1}+s*z_{2}=0[/mm] folgt r=s=0. Da man außerdem weiß,
> dass
>
> [mm]z_{x} = p(x)[/mm] und
> [mm]p(x) = ax^{2} + bx[/mm] erhält man
>
> [mm]r*(a+b) + s*(4a+2b) = 0[/mm]
>
> oder liege ich hier schon falsch?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich fasse kurz die Aufgabenstellung zusammen:
Wir haben den VR $ [mm] V:=\{f:\IR \to \IR| \exists a,b \in \IR:\forall x \in \IR:f(x)=ax^{2}+bx \} [/mm] $,
und es soll gezeigt werden, daß [mm] B^{\*}:=(z_1, z_2) [/mm] mit
[mm] z_{r}:V \to \IR, [/mm]
[mm] z_{r}(p):=p(r),
[/mm]
r=1,2
eine Basis von [mm] V^{\*} [/mm] ist.
Du möchtest nun zeigen, daß die Linearformen [mm] z_1, z_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Dazu möchtest Du völlig richtig zeigen, daß aus
$ [mm] r\cdot{}z_{1}+s\cdot{}z_{2}=0_{V^{\*}} [/mm] $ folgt, daß r=s=0.
Sei also
$ [mm] r\cdot{}z_{1}+s\cdot{}z_{2}=0_{V^{\*}} [/mm] $.
Was bedeutet das? Es bedeutet, daß für jede Polynomfunktion p aus V gilt:
[mm] r\cdot{}z_{1}(p)+s\cdot{}z_{2}(p)=0_\{\IR}.
[/mm]
Also gilt für jedes p [mm] \in [/mm] V:
r*p(1) + s*p(2)=0. (/*)
Ich verfolge jetzt zunächst Deinen Gedanken weiter:
weil das für beliebige p [mm] \in [/mm] V gilt, gilt also für alle [mm] a,b\in \IR:
[/mm]
r(a+b)+s(4a+2b)=0.
So, und jetzt kommt ein entscheidender Gedanke:
wenn es für alle a,b gilt, dann gilt es auch für beliebige Paare (a,b), die ich mir aussuche, etwa für (a,b)=(5,9) und (a,b)=(11,-10).
(Sicher könnte man die Paare noch etwas rechenfreundlicher wählen.)
Es folgt
r(5+9)+s(4*5+2*9)=0
und
r(11-10)+s(4*11+2*(-10))=0.
Dieses LGS kannst Du nach r und s auflösen.
Bei [mm] (\*) [/mm] könnte man auch so weitermachen - im Grunde ist es nicht anders als oben:
weil es für beliebige p gilt, gilt es insbesondere für
[mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] mit [mm] p_i(x)=x^i.
[/mm]
Man bekommt
[mm] r(p_1)(1)+s(p_1)(2)=0
[/mm]
und
[mm] r(p_2)(1)+s(p_2)(2)=0,
[/mm]
also
r*1 + s*2=0
r*1 + s*4=0.
Hieraus erhältst Du r und s.
Am Ende stellst Du fest: es folgt r=s=0,
also hat die Gleichung [mm] r\cdot{}z_{1}+s\cdot{}z_{2}=0_{V^{\*}} [/mm] nur die Lösung r=s=0, woraus folgt, daß [mm] z_1, z_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
> Wenn nicht, dann müssen [mm]a \not= -b[/mm] und [mm]a \not= - \bruch{b}{2}[/mm]
> gelten, da sonst eine nichttriviale Lösung existiert. Aber
> selbst dann kann man ja immer noch r und s so wählen, dass
> [mm]r= - s * \bruch{4a+2b}{a+b}[/mm]
> und erhält immer noch eine nichttriviale Lösung. Ich
> komme also zu keinem Ergebnis.
> Außerdem fällt mir die Vorstellung sehr schwer, dass
> zwei reelle Zahlen, die (a+b) und (4a+2b) ja sind, alle
> linearen Funktionen, also den Dualraum aufspannen sollen.
> Ich hoffe mir kann jemand aus meiner Sackgasse helfen!
> Gruß,
> Pumbaa
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:31 So 12.12.2010 | | Autor: | Pumbaa |
> weil das für beliebige p [mm]\in[/mm] V gilt, gilt also für alle
> [mm]a,b\in \IR:[/mm]
>
> r(a+b)+s(4a+2b)=0.
>
> So, und jetzt kommt ein entscheidender Gedanke:
> wenn es für alle a,b gilt, dann gilt es auch für
> beliebige Paare (a,b), die ich mir aussuche, etwa für
> (a,b)=(5,9) und (a,b)=(11,-10).
> (Sicher könnte man die Paare noch etwas
> rechenfreundlicher wählen.)
Ok, die Lösungswege sind mir schlüssig bis auf einen Teil. Wieso kann ich denn einfach zwei Paare (a,b) wählen? Schränke ich damit meinen Beweis nicht irgendwie ein, eben auf diese Paare?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 So 12.12.2010 | | Autor: | Pumbaa |
Ah, ok. Jetzt hab ichs. Es muss ja für alle p mit den gleichen Koeffizienten r und s gelten. Also nehme ich mir zwei Paare und finde damit heraus, dass dann r=s=0 sein muss.
Danke!
Bitte den Status meiner vorigen Frage ändern. Danke. :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 12.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Sei also
>
> [mm]r\cdot{}z_{1}+s\cdot{}z_{2}=0_{V^{\*}} [/mm].
>
> Was bedeutet das? Es bedeutet, daß für jede
> Polynomfunktion p aus V gilt:
>
> [mm]r\cdot{}z_{1}(p)+s\cdot{}z_{2}(p)=0_\{\IR}.[/mm]
>
> Also gilt für jedes p [mm]\in[/mm] V:
>
> r*p(1) + s*p(2)=0. (/*)
>
> Ich verfolge jetzt zunächst Deinen Gedanken weiter:
>
> weil das für beliebige p [mm]\in[/mm] V gilt, gilt also für alle
> [mm]a,b\in \IR:[/mm]
>
> r(a+b)+s(4a+2b)=0.
Hallo,
ich hab ab dieser Stelle etwas anders weitergemacht und würde gern wissen, ob mein Weg auch richtig ist.
Ich habe die Gleichung r*(a+b)+s*(4a+2b)=0. Da löse ich zunächst die Klammern auf und habe
ra+rb+s4a+s2b=0 und klammere a und b aus, dann habe ich
a*(r+4s)+b*(r+2s)=0.
So und da ich weiß, dass 0 die Nullstelle der Polynome aus V ist (wobei ich jetzt davon ausgehe, dass 0 die einzige Nullstelle ist,denn so verstehe ich die Aufgabe,ist das richtig?), kann ich sagen,dass
1. r+4s=0
2. r+2s=0
Löse ich dieses Gleichungssystem,bekomme ich r=s=0, also liegt lineare Unabhängigkeit vor.
Ist das ein akzeptabler Weg?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 12.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Sei also
> >
> > [mm]r\cdot{}z_{1}+s\cdot{}z_{2}=0_{V^{\*}} [/mm].
> >
> > Was bedeutet das? Es bedeutet, daß für jede
> > Polynomfunktion p aus V gilt:
> >
> > [mm]r\cdot{}z_{1}(p)+s\cdot{}z_{2}(p)=0_\{\IR}.[/mm]
> >
> > Also gilt für jedes p [mm]\in[/mm] V:
> >
> > r*p(1) + s*p(2)=0. (/*)
> >
> > Ich verfolge jetzt zunächst Deinen Gedanken weiter:
> >
> > weil das für beliebige p [mm]\in[/mm] V gilt, gilt also für alle
> > [mm]a,b\in \IR:[/mm]
> >
> > r(a+b)+s(4a+2b)=0.
>
> Hallo,
>
> ich hab ab dieser Stelle etwas anders weitergemacht und
> würde gern wissen, ob mein Weg auch richtig ist.
> Ich habe die Gleichung r*(a+b)+s*(4a+2b)=0. Da löse ich
> zunächst die Klammern auf und habe
> ra+rb+s4a+s2b=0 und klammere a und b aus, dann habe ich
> a*(r+4s)+b*(r+2s)=0.
>
> So und da ich weiß, dass 0 die Nullstelle der Polynome aus
> V ist (wobei ich jetzt davon ausgehe, dass 0 die einzige
> Nullstelle ist,denn so verstehe ich die Aufgabe,ist das
> richtig?),
Da verstehe ich nicht, was du mit der Nullstelle meinst.
> kann ich sagen,dass
> 1. r+4s=0
> 2. r+2s=0
Ja, da kannst du, denn die Gleichung $a*(r+4s)+b*(r+2s)=0$ muss für alle Werte von a und b gelten, und das geht nur, wenn jede der beiden Klammern für sich 0 sind.
> Löse ich dieses Gleichungssystem,bekomme ich r=s=0, also
> liegt lineare Unabhängigkeit vor.
> Ist das ein akzeptabler Weg?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Hallo,
> >
> > ich hab ab dieser Stelle etwas anders weitergemacht und
> > würde gern wissen, ob mein Weg auch richtig ist.
> > Ich habe die Gleichung r*(a+b)+s*(4a+2b)=0. Da löse
> ich
> > zunächst die Klammern auf und habe
> > ra+rb+s4a+s2b=0 und klammere a und b aus, dann habe ich
> > a*(r+4s)+b*(r+2s)=0.
> >
> > So und da ich weiß, dass 0 die Nullstelle der Polynome aus
> > V ist (wobei ich jetzt davon ausgehe, dass 0 die einzige
> > Nullstelle ist,denn so verstehe ich die Aufgabe,ist das
> > richtig?),
>
> Da verstehe ich nicht, was du mit der Nullstelle meinst.
Also in der Aufgabenstellung steht doch,dass alle Polynome die Form [mm] f(x)=ax^{2}+bx [/mm] haben und dass jedes Polynom bei x=0 eine Nullstelle hat.Da nicht gesagt wird,ob es eine weitere Nullstelle gibt, gehe ich davon aus, dass x=0 die einzige Nullstelle ist.Also gilt die Gleichung [mm] ax^{2}+bx=0 [/mm] nur für x=0. Und ich habe doch genau so eine Gleichung,nämlich a*(r+4s)+b*(r+2s)=0. Setze ich jetzt [mm] r+4s=x^{2} [/mm] und r+2s=x, dann muss r+4s=0 und r+2s=0, da x die einzige? Nullstelle ist.
So hatte ich mir das gedacht, wobei ich grad merke,dass es ja nicht sein kann dass [mm] r+4s=x^{2}, [/mm] wenn r+2s=x ist.Dann müsste [mm] x^{2}=r^{2}+4rs+4s^{2} [/mm] sein, also geht das doch nicht mit der Nullstelle??
Bin ich jetzt zur richtigen Erkenntnis gekommen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, das Polynom hat , da 0 keine doppelte Nst ist ausser für b =0 noch genau eine weitere Nst, die du ja auch leicht ausrechnen kannst.
[mm] ax^2+bx=0 [/mm] <=> x*(ax+b)=0
aber die einzige Nst brauchst du doch nicht! Rainer hat doch geschrieben, wie das argument ist, da kommen Nst nicht vor.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien V und [mm] z_{1},z_{2} [/mm] wie in Aufgabenteil a). Sei [mm] f:V\* \to \IR [/mm] die [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung mit [mm] f(z)=z*(x+x^{2}) [/mm] für jedes z [mm] \in V\*, [/mm] wobei [mm] x^{2}+x \in [/mm] V. Man bestimme sie darstellende Matrix von f bezüglich der Basis [mm] (z_{1},z_{2}) [/mm] von [mm] V\* [/mm] und der Standardbasis von K. |
Hallo,
ich hab mal die b) gemacht und habe auch eine darstellende Matrix herausgefunden, nur weiß ich nicht ob die richtig ist.Wäre lieb, wenn das jemand überprüfen könnte.
Zunächst gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass K ein Körper ist, da in der Aufgabe nichts darüber gesag wird, was K sein soll.
Die Standardbasis von K ist [mm] \{1\}.
[/mm]
Dann berechne ich die Bilder der Basis [mm] \{z_{1},z_{2}\}.
[/mm]
[mm] f(z_{1})=z_{1}(x^{2}+x), z_{1}(x^{2}+x)=2, [/mm]
[mm] f(z_{2})=z_{2}(x^{2}+x), z_{2}(x^{2}+x)=6
[/mm]
Dann ist die darstellende Matrix einfach (2 6).
Ist das so richtig? Das wäre nämlich zu einfach gewesen.
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Fr 10.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien V und [mm]z_{1},z_{2}[/mm] wie in Aufgabenteil a). Sei [mm]f:V\* \to \IR[/mm]
> die [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung mit [mm]f(z)=z*(x+x^{2})[/mm] für jedes z
> [mm]\in V\*,[/mm] wobei [mm]x^{2}+x \in[/mm] V. Man bestimme sie darstellende
> Matrix von f bezüglich der Basis [mm](z_{1},z_{2})[/mm] von [mm]V\*[/mm] und
> der Standardbasis von K.
> Hallo,
>
> ich hab mal die b) gemacht und habe auch eine darstellende
> Matrix herausgefunden, nur weiß ich nicht ob die richtig
> ist.Wäre lieb, wenn das jemand überprüfen könnte.
>
> Zunächst gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass K ein
> Körper ist, da in der Aufgabe nichts darüber gesag wird,
> was K sein soll.
Etwas merkwürdig, denn vorher ist immer nur von [mm] $\IR$ [/mm] die Rede.
> Die Standardbasis von K ist [mm]\{1\}.[/mm]
> Dann berechne ich die Bilder der Basis [mm]\{z_{1},z_{2}\}.[/mm]
>
> [mm]f(z_{1})=z_{1}(x^{2}+x), z_{1}(x^{2}+x)=2,[/mm]
>
> [mm]f(z_{2})=z_{2}(x^{2}+x), z_{2}(x^{2}+x)=6[/mm]
>
> Dann ist die darstellende Matrix einfach (2 6).
>
> Ist das so richtig? Das wäre nämlich zu einfach gewesen.
So verstehe ich die Aufgabe auch.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Zunächst gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass K ein
> > Körper ist, da in der Aufgabe nichts darüber gesag wird,
> > was K sein soll.
>
> Etwas merkwürdig, denn vorher ist immer nur von [mm]\IR[/mm] die
> Rede.
Es sollte auch [mm] \IR [/mm] sein, die hatten sich in der Aufgabe vertippt.
> > Die Standardbasis von K ist [mm]\{1\}.[/mm]
> > Dann berechne ich die Bilder der Basis
> [mm]\{z_{1},z_{2}\}.[/mm]
> >
> > [mm]f(z_{1})=z_{1}(x^{2}+x), z_{1}(x^{2}+x)=2,[/mm]
> >
> > [mm]f(z_{2})=z_{2}(x^{2}+x), z_{2}(x^{2}+x)=6[/mm]
> >
> > Dann ist die darstellende Matrix einfach (2 6).
> >
> > Ist das so richtig? Das wäre nämlich zu einfach gewesen.
>
> So verstehe ich die Aufgabe auch.
Eine Frage hab ich noch, die darstellende Matrix ist aber (2 6) und nicht [mm] \vektor{2 \\ 6} [/mm] oder? Da war ich mir nämlich etwas unsicher wie ich das aufschreiben soll.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Fr 10.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> > > Zunächst gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass K ein
> > > Körper ist, da in der Aufgabe nichts darüber gesag wird,
> > > was K sein soll.
> >
> > Etwas merkwürdig, denn vorher ist immer nur von [mm]\IR[/mm] die
> > Rede.
>
> Es sollte auch [mm]\IR[/mm] sein, die hatten sich in der Aufgabe
> vertippt.
>
> > > Die Standardbasis von K ist [mm]\{1\}.[/mm]
> > > Dann berechne ich die Bilder der Basis
> > [mm]\{z_{1},z_{2}\}.[/mm]
> > >
> > > [mm]f(z_{1})=z_{1}(x^{2}+x), z_{1}(x^{2}+x)=2,[/mm]
> > >
> > > [mm]f(z_{2})=z_{2}(x^{2}+x), z_{2}(x^{2}+x)=6[/mm]
> > >
> > > Dann ist die darstellende Matrix einfach (2 6).
> > >
> > > Ist das so richtig? Das wäre nämlich zu einfach gewesen.
> >
> > So verstehe ich die Aufgabe auch.
>
> Eine Frage hab ich noch, die darstellende Matrix ist aber
> (2 6) und nicht [mm]\vektor{2 \\ 6}[/mm] oder?
Richtig, denn die Abbildung wird auf Vektoren [mm] $\vektor{A\\B}$ [/mm] der Dimension 2 angewandt und ergibt eine reelle Zahl.
Viele Grüße
Rainer
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Ich habe mal eine Frage zu der darstellenden Matrix in Aufgabenteil b).
Wie berechnet man denn formal richtig die darstellende Matrix?
Reicht es aus, wenn man es so schreibt wie du?
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> Ich habe mal eine Frage zu der darstellenden Matrix in
> Aufgabenteil b).
> Wie berechnet man denn formal richtig die darstellende
> Matrix?
> Reicht es aus, wenn man es so schreibt wie du?
Hallo,
da in den Spalten der darstellenden Matrix die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl der Basis des Bildraumes stehen, muß man genau dies ausrechnen. Das hat Mandy getan.
Was erscheint Dir unsauber?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien V und [mm] z_{1},z_{2} [/mm] wie in Aufgabenteil a). Sei f:V [mm] \to [/mm] V die lineare Abbildung, die jedem p [mm] \in [/mm] V das Polynom x*p' zuordnet, d.h. [mm] f(ax^{2}+bx)=2ax^{2}+bx [/mm] für alle a,b [mm] \in \IR.Man [/mm] bestimme die darstellende Matrix der transponierten Abbildung [mm] f\*:V\* \to V\* [/mm] bezüglich der Basis [mm] (z_{1},z_{2}). [/mm] |
Hallo,
ich habe auch versucht die c) zu machen.
Nur bin ich mir nicht ganz sicher ob ich die richtig verstanden habe.Normalerweise steht da immer "bezüglich der A und B".Das ist klar,dann muss ich die Bilder von A berechnen und durch B ausdrücken.
Aber jetzt steht hier nur "bezüglich der Basis [mm] B=(z_{1},z_{2})". [/mm] Heißt das ich muss die Bilder von B berechnen und wieder durch B ausdrücken?
So, ich muss zunächst die Bilder von [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] berechnen, also [mm] f\*(z_{1}) [/mm] und [mm] f\*(z_{2}). [/mm] Es ist [mm] f\*:V\* \to V\* [/mm] und [mm] V\*:V \to [/mm] K.
Muss ich dann [mm] f(z_{1})=2a+b [/mm] rechnen, wenn ich das Bild von [mm] z_{1} [/mm] berechnen will?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Fr 10.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien V und [mm]z_{1},z_{2}[/mm] wie in Aufgabenteil a). Sei f:V [mm]\to[/mm]
> V die lineare Abbildung, die jedem p [mm]\in[/mm] V das Polynom x*p'
> zuordnet, d.h. [mm]f(ax^{2}+bx)=2ax^{2}+bx[/mm] für alle a,b [mm]\in \IR.Man[/mm]
> bestimme die darstellende Matrix der transponierten
> Abbildung [mm]f\*:V\* \to V\*[/mm] bezüglich der Basis
> [mm](z_{1},z_{2}).[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe auch versucht die c) zu machen.
> Nur bin ich mir nicht ganz sicher ob ich die richtig
> verstanden habe.Normalerweise steht da immer "bezüglich
> der A und B".Das ist klar,dann muss ich die Bilder von A
> berechnen und durch B ausdrücken.
>
> Aber jetzt steht hier nur "bezüglich der Basis
> [mm]B=(z_{1},z_{2})".[/mm] Heißt das ich muss die Bilder von B
> berechnen und wieder durch B ausdrücken?
Ja.
> So, ich muss zunächst die Bilder von [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm]
> berechnen, also [mm]f\*(z_{1})[/mm] und [mm]f\*(z_{2}).[/mm] Es ist [mm]f\*:V\* \to V\*[/mm]
> und [mm]V\*:V \to[/mm] K.
> Muss ich dann [mm]f(z_{1})=2a+b[/mm] rechnen, wenn ich das Bild von
> [mm]z_{1}[/mm] berechnen will?
Das verstehe ich nicht. 1. muss es [mm] $f^\ast(z_1)$ [/mm] sein, und 2. wie kommst du auf [mm] $f^\ast(z_1)=2a+b$ [/mm] ?
Wie habt ihr denn die transponierte Abbildung definiert?
Tipp: Wenn du die Basen richtig wählst, ist die Matrix der transponierten Abbildung die Transponierte der Matrix von f. "Richtig" heisst hier, dass die Basis [mm] $\{p_1,p_2\}$ [/mm] von V die Bedingung
[mm] z_i(p_j) =\delta_{ij} [/mm]
erfüllen muss.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > So, ich muss zunächst die Bilder von [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm]
> > berechnen, also [mm]f\*(z_{1})[/mm] und [mm]f\*(z_{2}).[/mm] Es ist [mm]f\*:V\* \to V\*[/mm]
> > und [mm]V\*:V \to[/mm] K.
> > Muss ich dann [mm]f(z_{1})=2a+b[/mm] rechnen, wenn ich das Bild von
> > [mm]z_{1}[/mm] berechnen will?
>
> Das verstehe ich nicht. 1. muss es [mm]f^\ast(z_1)[/mm] sein, und 2.
> wie kommst du auf [mm]f^\ast(z_1)=2a+b[/mm] ?
Ja es muss natürlich [mm] f^{\*}(z_{1}) [/mm] sein,ich hab das irgendwie falsch eingetippt.Dass ich das Bild da oben falsch berechnet habe, ist mir klar geworden.Ich hab die Aufgabe von neu versucht.
>
> Wie habt ihr denn die transponierte Abbildung definiert?
Die transponierte Abbildung haben wir so definieret:
Seien V,W K-Vektorräume und f [mm] \in Hom_{K}(V,W).
[/mm]
Definiere [mm] f^{\*}:W^{\*} \to V^{\*} [/mm] durch
[mm] \forall g\in W^{\*}: f^{\*}(g)=\underbrace{g \circ f}_{\in Hom_{K}(V,K)=V^{\*}}.
[/mm]
Diese Abbildung [mm] f^{\*} [/mm] heißt die transponierte Abbildung von f.
Ich weiß also zunächst,dass f:V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung ist. und dass [mm] f(ax^{2}+bx)=2ax^{2}+bx [/mm] gilt.
Dann hab ich die zu f transponierte Abbildung [mm] f^{\*}:V^{\*} \to V^{\*} [/mm] und soll die darstellende Matrix von [mm] f^{\*} [/mm] bezüglich der Basis [mm] (z_{1},z_{2}) [/mm] von [mm] V^{\*} [/mm] bestimmen. Und ich weiß,dass [mm] V^{\*}:V \to [/mm] K ist.
So, jetzt muss ich die Bilder von [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] berechnen.
Dazu berechne ich [mm] f^{\*}(z_{1}). [/mm] Es ist [mm] z_{1}(p)=p(1). [/mm] Und es ist p(1)=a+b. Analog ergibt sich p(2)=4a+2b.
Dann hab ich [mm] 2ax^{2}+bx [/mm] genommen und da für x a+b bzw. 4a+2b eingesetzt und hab somit für die Bilder
[mm] f^{\*}(z_{1})=2a^{3}+4a^{2}b+2ab^{2}+ba+b^{2} [/mm] und
[mm] f^{\*}(z_{2})=32a^{3}+32a^{2}b+8ab^{2}+4ab+2b^{2}.
[/mm]
Die Bilder sind ganz schön komisch, stimmen die so?
Mich hat einfach verwirrt, dass in der Aufgabe steht,dass V wie in teil a) ist, dann haben wir hier noch eine Abbildung f und dann noch eine transponierte und dann noch das [mm] z_{r}(p)=p(1). [/mm] Ich blicke nicht mehr so richtig durch, wie ich die Bilder berechnen soll.
Wenn meine Bilder nicht stimmen, was habe ich falsch gemacht
>
> Tipp: Wenn du die Basen richtig wählst, ist die Matrix der
> transponierten Abbildung die Transponierte der Matrix von
> f. "Richtig" heisst hier, dass die Basis [mm]\{p_1,p_2\}[/mm] von V
> die Bedingung
>
> [mm]z_i(p_j) =\delta_{ij}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 12.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> > > So, ich muss zunächst die Bilder von [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm]
> > > berechnen, also [mm]f\*(z_{1})[/mm] und [mm]f\*(z_{2}).[/mm] Es ist [mm]f\*:V\* \to V\*[/mm]
> > > und [mm]V\*:V \to[/mm] K.
> > > Muss ich dann [mm]f(z_{1})=2a+b[/mm] rechnen, wenn ich das Bild von
> > > [mm]z_{1}[/mm] berechnen will?
> >
> > Das verstehe ich nicht. 1. muss es [mm]f^\ast(z_1)[/mm] sein, und 2.
> > wie kommst du auf [mm]f^\ast(z_1)=2a+b[/mm] ?
>
> Ja es muss natürlich [mm]f^{\*}(z_{1})[/mm] sein,ich hab das
> irgendwie falsch eingetippt.Dass ich das Bild da oben
> falsch berechnet habe, ist mir klar geworden.Ich hab die
> Aufgabe von neu versucht.
> >
> > Wie habt ihr denn die transponierte Abbildung definiert?
>
> Die transponierte Abbildung haben wir so definieret:
>
> Seien V,W K-Vektorräume und f [mm]\in Hom_{K}(V,W).[/mm]
>
> Definiere [mm]f^{\*}:W^{\*} \to V^{\*}[/mm] durch
>
> [mm]\forall g\in W^{\*}: f^{\*}(g)=\underbrace{g \circ f}_{\in Hom_{K}(V,K)=V^{\*}}.[/mm]
>
> Diese Abbildung [mm]f^{\*}[/mm] heißt die transponierte Abbildung
> von f.
>
> Ich weiß also zunächst,dass f:V [mm]\to[/mm] V eine lineare
> Abbildung ist. und dass [mm]f(ax^{2}+bx)=2ax^{2}+bx[/mm] gilt.
> Dann hab ich die zu f transponierte Abbildung
> [mm]f^{\*}:V^{\*} \to V^{\*}[/mm] und soll die darstellende Matrix
> von [mm]f^{\*}[/mm] bezüglich der Basis [mm](z_{1},z_{2})[/mm] von [mm]V^{\*}[/mm]
> bestimmen. Und ich weiß,dass [mm]V^{\*}:V \to[/mm] K ist.
> So, jetzt muss ich die Bilder von [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm]
> berechnen.
> Dazu berechne ich [mm]f^{\*}(z_{1}).[/mm] Es ist [mm]z_{1}(p)=p(1).[/mm] Und
> es ist p(1)=a+b. Analog ergibt sich p(2)=4a+2b.
OK.
> Dann hab ich [mm]2ax^{2}+bx[/mm] genommen und da für x a+b bzw.
> 4a+2b eingesetzt
warum?
> und hab somit für die Bilder
> [mm]f^{\*}(z_{1})=2a^{3}+4a^{2}b+2ab^{2}+ba+b^{2}[/mm] und
>
> [mm]f^{\*}(z_{2})=32a^{3}+32a^{2}b+8ab^{2}+4ab+2b^{2}.[/mm]
>
> Die Bilder sind ganz schön komisch, stimmen die so?
Nein, da hast du - glaube ich - etwas doppelt gemacht.
Um die Matrix der transponierten Abbildung zu bestimmen, musst du [mm] $f^\ast(z_1)$ [/mm] und [mm] $f^\ast(z_2)$ [/mm] in der Basis [mm] $\{z_1,z_2\}$ [/mm] darstellen, also
[mm] f^\ast(z_1) = F_{11} z_1 + F_{12} z_2 [/mm]
und
[mm] f^\ast(z_2) = F_{21} z_1 + F_{22} z_2 [/mm] .
Geh nochmal von der Definition aus:
[mm]f^\ast (g) := g\circ f [/mm].
Daher ist [mm] $f^\ast(z_r) [/mm] = [mm] z_r \circ [/mm] f $ .
Nun wenden wir diese Gleiochung auf ein beliebiges Polynom [mm] $p\in [/mm] V$, [mm] $p=ax^2+bx$ [/mm] an:
[mm] (f^\ast(z_r))(p) = (z_r \circ f)(p) = z_r(f(p)) =z_r(x*p') = z_r(2ax^2+bx)[/mm] .
Für r=1 haben wir ganz links
[mm] (f^\ast(z_1))(p) = F_{11} z_1(p) + F_{12} z_2(p) = F_{11} p(1) + F_{12} p(2) = F_{11} (a+b) +F_{12}(4a+2b) [/mm]
und ganz rechts
[mm] z_1(2ax^2+bx)=2a+b [/mm]
und ganz analog für r=2, also z=2.
Da dies wieder für beliebige a und b gelten muss, sind die Matrixelemente [mm] $F_{ij}$ [/mm] eindeutig bestimmt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
O nein, die Frage ist ausversehen hier gelandet,hab nen neuen Thread geöffnet.Das ist keine Frage mehr, bitte ändern.
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