matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare Algebrapositiv def <=> Rang A = n
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Lineare Algebra" - positiv def <=> Rang A = n
positiv def <=> Rang A = n < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

positiv def <=> Rang A = n: Ansätze ?!?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Mo 04.07.2005
Autor: DeusRa

Hey hey,

da bin ich wieder, und habe auch eine Frage mitgebracht:

Stehe kurz vor den Klausuren, und bearbeite folgende Frage.
Wollte wissen, ob meine Ansätze richtig sind !! Und zwar zu folgender Aufgabe:

Es sei [mm] A\in M(m,n)[/mm] eine reelle Matrix.
Zeigen Sie:
[mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm] \gdw [/mm] Rang A = n.

So......man muss also zwei Richtungen zeigen:

[mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm] \subset [/mm] Rang A = n.
[mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm] \supset [/mm] Rang A = n.

[mm] \subset [/mm] : zz.: Rang A = n.
Sei [mm]A^{T}*A>0[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm]A^{T}*A \in M(n,n)[/mm]
Aus pos.def folgt [mm] \Rightarrow[/mm]  [mm] x^{T}*A^{T}*A*x>0[/mm] [mm] \forall x \in \IR \Rightarrow (Ax)^{T}*Ax \ge 0[/mm]
Aber ab jetzt hänge ich.........
Ich muss irgendwie auf Rang A = n kommen.
Dies ist doch nur der Fall, wenn die Diagonaleinträge ungleich Null sind.
Aber wie soll ich von hieraus weitermachen ??

[mm] \supset [/mm] : zz: [mm]A^{T}*A>0[/mm]
Sei Rang A = n [mm] \Rightarrow [/mm]
Kern A = 0.
Aber eigentlich habe ich für diese Richtung irgendwie sonst keine Idee.

Danke schon mal.

        
Bezug
positiv def <=> Rang A = n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Di 05.07.2005
Autor: Hexe


> Hey hey,
>  
> da bin ich wieder, und habe auch eine Frage mitgebracht:
>  
> Stehe kurz vor den Klausuren, und bearbeite folgende
> Frage.
>  Wollte wissen, ob meine Ansätze richtig sind !! Und zwar
> zu folgender Aufgabe:
>  
> Es sei [mm]A\in M(m,n)[/mm] eine reelle Matrix.
>  Zeigen Sie:
>  [mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm]\gdw[/mm] Rang A = n.
>  
> So......man muss also zwei Richtungen zeigen:
>  
> [mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm]\subset[/mm] Rang A = n.
>  [mm]A^{T}*A[/mm] positiv definit [mm]\supset[/mm] Rang A = n.
>  
> [mm]\subset[/mm] : zz.: Rang A = n.
>  Sei [mm]A^{T}*A>0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
>  [mm]A^{T}*A \in M(n,n)[/mm]
>  Aus pos.def folgt [mm]\Rightarrow[/mm]  
> [mm]x^{T}*A^{T}*A*x>0[/mm] [mm]\forall x \in \IR \Rightarrow (Ax)^{T}*Ax \ge 0[/mm]
>  
> Aber ab jetzt hänge ich.........
>  Ich muss irgendwie auf Rang A = n kommen.
>  Dies ist doch nur der Fall, wenn die Diagonaleinträge
> ungleich Null sind.
>  Aber wie soll ich von hieraus weitermachen ??

Also wenn das Ding pos. def ist, dann sind insbesondere alle Eigenwerte >0 und damit sind die Eigenwerte von A [mm] \not= [/mm] 0 und damit hast du den maximalen Rang  


> [mm]\supset[/mm] : zz: [mm]A^{T}*A>0[/mm]
>  Sei Rang A = n [mm]\Rightarrow[/mm]
>  Kern A = 0.
>  Aber eigentlich habe ich für diese Richtung irgendwie
> sonst keine Idee.

Ok Rang A=n heisst alle Eigenwerte [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] A^T [/mm] hat dieselben Eigenwerte wie A
Also hat [mm] A^T [/mm] A  nur pos. Eigenwerte (-*-=+) und ist damit pos. def.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]