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| Aufgabe | Hallo, ich habe folgende Frage:
1) Gilt für eine Positiv definite Matrix X, dass auch L^TLX positiv definit ist? Ich meine ich habe das schon irgendwo gelesen. Ach aj, stimmt da der positiv semidefiniter Kegel selbst dual ist, müsste es ja gelten? oder?
2) Wenn X positiv definit dann ist doch Spur(X)>=0?
Danke für eure Antworten  |
Hi, Bastiane, so ist es richtig? Aufgabe im obigen Kasten, alles andere unten? 
bis dann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Sa 18.08.2007 | | Autor: | setine |
Hi victory_hh,
> 1) Gilt für eine Positiv definite Matrix X, dass auch
> L^TLX positiv definit ist? Ich meine ich habe das schon
> irgendwo gelesen. Ach aj, stimmt da der positiv
> semidefiniter Kegel selbst dual ist, müsste es ja gelten?
> oder?
Also ich denke mal du meinst: Wenn X pos def ist, dann ist auch Q^tYQ pos def.
Das stimmt so, denn X und Y sind per Definition der Ähnlichkeit - genau du hasts erraten - ähnlich zueinander. Im Prinzip heisst das nur dass sie die gleichen Eigenwerte (aber achtung, die Eigenvektoren sind verschieden, sofern X ungleich Y ist!) haben.
Bei der pos def Matrix X sind die Eigenwerte grösser 0. Da jetzt aber X und Y eigentlich die gleichen Eigenwerte haben, ist Y natürlich auch pos def.
Der Begriff "semidefiniter Kegel" ist mir leider fremd.
>
> 2) Wenn X positiv definit dann ist doch Spur(X)>=0?
Nicht umbedingt. Wenn X pos def ist, dann müssen in der Zeilenstufenform alle pivots > 0 sein.
Ich würde dir diese Betrachtungsweise empfehlen ;)
Gruss, Setine
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| Aufgabe | | Hi, Danke für die Antowrt, bei positiv definiter Matrix müssen aber doch auch alle Diagonalelemente >0 sein. Das habe ich nach der Klausur gelernt :-(. Neme doch einfach alle Einheitsvektoren nacheinander und dann: [mm] e_1^T*X*e^_1>0 [/mm] und so weiter. Weiß nun nicht genau, ob positiv semidefinit aus für alle Vektoren a^TXa>=0 bedeutet? ich denke schon! |
bis dann und Danke
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>bei positiv definiter Matrix
> müssen aber doch auch alle Diagonalelemente >0 sein.
Hallo,
das gilt für pos. definite symmetrische bzw. hermitesche Matrizen.
>Weiß nun nicht genau, ob positiv semidefinit
> aus für alle Vektoren a^TXa>= bedeutet? ich denke schon!
Ich weiß nicht, was Du hiermit meinst.
Gruß v. Angela
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