positiven Abstand < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Do 10.05.2007 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | | Seien A und K disjunkte nichtleere Teilmengen eines normierten Raumes V, A abgeschlossen und K kompakt. Zeigen sie dass diese Mengen positiven Abstand haben. |
Hallo,
also was weiß ich der Schnitt von A und K ist leer.
Und das A abgeschlossen und K kompakt.
Mh aber wie das jetzt zu nem positiven Abstand führt. Gibts überhaupt nen negativen Abstand. Wie zeig ich sowas.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 10.05.2007 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
ich denke mit positivem Abstand ist gemeint, dass der Abstand nicht null ist. Um dieses zu zeigen, nimm an dass der Abstand d(A,K)=0 ist, das heißt ja
[mm] \forall \epsilon>0 \exists a\in [/mm] A [mm] k\in [/mm] K mit [mm] |a-k|<\epsilon [/mm] und jetzt überlege wie du daraus einen Widerspruch zu abgeschlossen und leerem Schnitt bekommst.
Gruß
Frank
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Mh so?
Also es gibt ein x in K mit d(A,x) = d(A,K). Aus d(A,K) = 0 folgte also, dass x ein Berührungspunkt von A ist. Weil A abgeschlossen ist, heißt das aber, dass x in K liegt. Das widerspricht der Voraussetzung, dass A,K disjunkt sind ?
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Alles läuft darauf hinaus, z.z. dass wenn man einen Punkt a hat, der von einer kompakten Menge K Abstand 0 hat (also d(a,K)=0), schon folgt, dass dieser Punkt auch in K liegen muss. Warum?
Idee: Wäre es nicht so, dann könnte man eine offene Überdeckung von K konstruieren, für es keine endliche Teilüberdeckung geben kann.
Beispiel: Betrachte die halboffenen Intervalle [0,1[ - wenn man den Wert 1 nicht hinzunimmt, wird's nicht kompakt, weil man folgende offene Überdeckung konstruieren kann: { [mm] ]-1,1-\bruch{1}{n}[; [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] }
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Versteh ich noch nicht so damit wäre alles gezeigt??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 13.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hi,
überlege dir zuerst, dass eine metrik immer stetig ist. wähle dann minimalfolgen [mm] $a_n\in [/mm] A$ und [mm] $k_n\in [/mm] K$,so dass [mm] $d(A,K)=\lim d(a_n,k_n)$. [/mm] Da K kompakt ist, gibt es eine konvergente teilfolge [mm] $k_j$ [/mm] von [mm] $k_n$, [/mm] die gegen ein [mm] $k\in [/mm] K$ konvergiert, es ist dann [mm] $d(A,K)=\lim d(a_n,k)$.
[/mm]
jetzt kannst du so argumentieren, wie in einer anderen antwort schon gesagt. angenommen $d(A,K)=0$, dann..... bis zum Widerspruch.
VG
Matthias
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