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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 28.04.2011 | | Autor: | wergor |
| Aufgabe | | man entwickle die funktion f(z) = [mm] \bruch{1}{z^2 + 1} [/mm] in eine potenzreihe um [mm] z_0 [/mm] = 0 und berechne den konvergenzradius. man versuche das ergebnis zu interpretieren. |
hallo,
ich habe ein problem mit diesem beispiel. ich habe es auf 3 verschiedene arten versucht:
1) [mm] \bruch{1}{z^2 + 1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] * (z - [mm] z_0)^n [/mm]
umgeformt auf 1 = [mm] \summe_{n=o}^{\infty} a_n [/mm] * [mm] z^n [/mm] + [mm] \summe_{n=o}^{\infty} a_n [/mm] * [mm] z^{n+2} [/mm]
wie kann ich jetzt meine koeffizienten ausrechnen?
2) taylorreihenentwicklung. dafür brauche ich die n-te ableitung: f(z) = [mm] \bruch{1}{z^2 + 1}, [/mm]
f'(z) = [mm] \bruch{-2z}{(z^2 + 1)^2}
[/mm]
f''(z) = [mm] \bruch{6z^2 - 2}{(z^2 + 1)^3}
[/mm]
f'''(z) = [mm] \bruch{-24z^3+24z}{(z^2 + 1)^4}
[/mm]
etc. ich kann keine formel für die n-te ableitung finden. kann man diese aufgabe überhaupt mittels taylorreihenentwicklung lösen?
3) ich nehme die geometrische reihe [mm] \bruch{1}{1 - q} [/mm] = 1 +q + [mm] q^2 [/mm] + [mm] q^3 [/mm] + ...
und sage [mm] \bruch{1}{1 - q} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^2 + 1} [/mm] --> q = - [mm] z^2
[/mm]
dann einsetzen in die reihe, und ich erhalte als ergebnis
[mm] \bruch{1}{z^2 + 1} [/mm] = 1 - [mm] z^2 [/mm] + [mm] z^4 [/mm] - [mm] z^6 [/mm] .....
kann ich das so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 28.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Vergiss 1) und 2) und mache mit 3) weiter.
FRED
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> man entwickle die funktion f(z) = [mm]\bruch{1}{z^2 + 1}[/mm] in
> eine potenzreihe um [mm]z_0[/mm] = 0 und berechne den
> konvergenzradius. man versuche das ergebnis zu
> interpretieren.
>
> hallo,
>
> ich habe ein problem mit diesem beispiel. ich habe es auf 3
> verschiedene arten versucht:
>
> 1) [mm]\bruch{1}{z^2 + 1}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] * (z -
> [mm]z_0)^n[/mm]
> umgeformt auf 1 = [mm]\summe_{n=o}^{\infty} a_n[/mm] * [mm]z^n[/mm] +
> [mm]\summe_{n=o}^{\infty} a_n[/mm] * [mm]z^{n+2}[/mm]
> wie kann ich jetzt meine koeffizienten ausrechnen?
>
> 2) taylorreihenentwicklung. dafür brauche ich die n-te
> ableitung: f(z) = [mm]\bruch{1}{z^2 + 1},[/mm]
> f'(z) = [mm]\bruch{-2z}{(z^2 + 1)^2}[/mm]
> f''(z) = [mm]\bruch{6z^2 - 2}{(z^2 + 1)^3}[/mm]
>
> f'''(z) = [mm]\bruch{-24z^3+24z}{(z^2 + 1)^4}[/mm]
> etc. ich kann
> keine formel für die n-te ableitung finden. kann man diese
> aufgabe überhaupt mittels taylorreihenentwicklung lösen?
führst du dieses weiter durch. würdest du feststellen, dass man für die ableitungen erhält:
0. => 1
1. => 0
2. => -2
3. => 0
4. => 24
5. => 0
6. => -720
wenn man bedenkt, dass 720 6! ist und nur jedes gerade glied vorhanden ist, und die vorzeichen sich abwechseln, kann man die taylorreihe von hand ermitteln (was die gleiche ergibt wie unter 3.)
>
> 3) ich nehme die geometrische reihe [mm]\bruch{1}{1 - q}[/mm] = 1 +q
> + [mm]q^2[/mm] + [mm]q^3[/mm] + ...
> und sage [mm]\bruch{1}{1 - q}[/mm] = [mm]\bruch{1}{z^2 + 1}[/mm] --> q = -
> [mm]z^2[/mm]
> dann einsetzen in die reihe, und ich erhalte als ergebnis
> [mm]\bruch{1}{z^2 + 1}[/mm] = 1 - [mm]z^2[/mm] + [mm]z^4[/mm] - [mm]z^6[/mm] .....
> kann ich das so machen?
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Do 28.04.2011 | | Autor: | wergor |
danke für die hilfe!
mfg,
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