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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Do 07.04.2011 | | Autor: | dazivo |
| Aufgabe | Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P, [mm] \mathbb{F})$ [/mm] ein filtrierter W'Raum mit den "usual assumptions" und $H$ ein (sagen wir) positiver previsibler Prozess. Frage: Wo ist der Fehler im folgenden Beweis, dass $H$ local beschränkt ist.
Beh: $H$ ist lokal beschränkt.
Bew: Setze [mm] $T_n:= \inf\{ t\geq 0: H_t \geq n \}$. [/mm] Dann ist [mm] $T_n$ [/mm] eine Stoppzeit, da [mm] $T_n$ [/mm] das Début einer previsiblen (also progressiven) Menge ist. Die Folge ist auch wachsend. Da $H$ reellwertig ist, gilt [mm] $T_n \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$. [/mm] Aufgrund der Definition von [mm] $T_n$ [/mm] haben wir
$$
H [mm] \leq [/mm] n [mm] \quad \text{auf (dem stochastischen Intervall)} [[0,T_n))
[/mm]
$$
Also ist $H$ prelocally bounded. Da aber jeder prelocally bounded previsibler Prozess locally bounded ist (steht irgendwo im Buch Dellacherie/Meyer) folgt die Behauptung. |
Hallo zusammen!
Ich habe mir den obigen "Beweis" selbst erdacht und bin zum Schluss gekommen, dass er nicht stimmen kann. Das obige Resultat würde ja implizieren, dass das stochastische Integral eines beliebigen previsiblen Prozesses bezüglich eines beliebigen localen Martingal existieren würde, was sicher nicht der Fall ist. Ich habe echt keine Ahnung wo der Fehler sein könnte.
Ich hoffe, jemand kann mir da weiterhelfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüsse
dazivo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Sei $ [mm] (\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P, [mm] \mathbb{F}) [/mm] $ ein filtrierter W'Raum mit den "usual assumptions"
was sind die üblichen Annahmen?
Sagen wir X ist eine exponentialverteilte ZV,
[mm] $H_t=1_{t>0}X.$
[/mm]
Mit der natürlichen Filtrierung ist [mm] $\mathcal{F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$. [/mm] Also hat Deine Stopzeit keine Ahnung, ob sie nun stoppen soll oder nicht.
Ist Deine Filtrierung rechtsstetig, dann sagt Dein Buch auf ![[]](/images/popup.gif) Seite 321, §11, daß das im Prinzip nur erfordert, daß [mm] $\sup_{s\leq t} |H_s|$ [/mm] fast sicher endlich ist für alle t.
[mm] $H_t=1_{t>0}\frac [/mm] 1t$
ist das mehr oder weniger triviale Gegenbeispiel, falls das nicht gegeben ist.
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:39 Di 12.04.2011 | | Autor: | dazivo |
Hoi Stefan
Usual assumption heisst: Filtration ist rechtsstetig und vollständig.
Danke für deine Antwort, hat mir sehr weitergeholfen.
Gruss dazivo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Do 14.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:30 Do 23.02.2012 | | Autor: | dazivo |
Vielen herzlichen Dank für deine Antwort!! Leider bin ich fast ein Jahr zu spät, sorry!!! Mittlerweile habe ich das Problem selbst gelöst, und es ist im Wesentlichen das was du erwähnt hast.
Freundliche Grüsse
dazivo
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