prim,irreduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 So 13.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
bin gerade in Vorbereitung auf mein Vordiplom. Leider hab ich an einigen Stellen gemerkt, dass ich noch ein paar Lücken habe.
1.
Was zum Beispiel is der Unterschied zwischen prim und irreduzibel, wenn ich mich bei beispielsweise bei Gruppen befinde? Ich hab die Definitionen angeschaut und auch verstanden, aber bei einigen Definitionen im Skript kommt dann oft der Wortlaut "dann wenn" auf.. es ist also nicht immer das gleiche, steht aber in Beziehung. Kann mir das vielleicht Jemand genau erklären?
2.
Bezüglich Thema Restklassen. Das hab ich verstanden, aber ich weiß nicht, wie ich M/U richtig ausspreche. Heißt das "M modulo U"? Denn eine Klasse davon wäre ja K:={m+U} und M/U sind ja dann alle diese Klassen. Kann mir vielleicht auch hier weitergeholfen werden?
Das wars erstmal :)
Viele Grüße
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 So 13.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Morgen,
> 1.
> Was zum Beispiel is der Unterschied zwischen prim und
> irreduzibel, wenn ich mich bei beispielsweise bei Gruppen
> befinde? Ich hab die Definitionen angeschaut und auch
> verstanden, aber bei einigen Definitionen im Skript kommt
> dann oft der Wortlaut "dann wenn" auf.. es ist also nicht
> immer das gleiche, steht aber in Beziehung. Kann mir das
> vielleicht Jemand genau erklären?
Ich kenne die Begriffe irreduzibel und prim nur im Zusammenhang von Integritätsringen. Hier sind sie aber tatsächlich nicht immer äquivalent.
Ist [mm] $R\:$ [/mm] ein Integritätsring und $p [mm] \in [/mm] R$, so heißt [mm] $p\:$ [/mm] irreduzibel, wenn für jede Zerlegung $p=xy$ gilt, dass [mm] $x\.$ [/mm] oder [mm] $y\:$ [/mm] eine Einheit in R ist.
[mm] $p\:$ [/mm] heißt hingegen prim, wenn aus $p [mm] \:|\: [/mm] xy$ immer $p [mm] \:|\:x$ [/mm] oder $p [mm] \:|\: [/mm] y$ folgt.
Ein Primelement ist immer irreduzibel.
Betrachten wir beispielsweise $6 [mm] \in \IZ[\sqrt{-5}]$: [/mm] Es gilt $6=2 [mm] \cdot [/mm] 3 = [mm] (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$
[/mm]
Es ist zum beispiel 2 nicht prim, denn aus $2 [mm] \:|\: (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ [/mm] folgt hier nicht: $2 [mm] \:|\: (1+\sqrt{-5})$ [/mm] oder $2 [mm] \:|\: (1-\sqrt{-5})$. [/mm] 2 ist jedoch irreduzibel.
Das heißt in allgemeinen Integritätsringen gibt es Elemente, die irreduzibel sind, aber nicht prim. Es lohnt sich, sich dieses Gegenbeispiel zu merken, ist ein Standardbeispiel.
In Hauptidealringen, also z.B. auch in [mm] $\IZ$ [/mm] oder dem Polynomring $K[X]$ über einem Körper K, sind die Begriffe dann aber äquivalent. Also, sobald du dich in Hauptidealringen befindest, musst du nicht mehr unterscheiden.
> 2.
> Bezüglich Thema Restklassen. Das hab ich verstanden, aber
> ich weiß nicht, wie ich M/U richtig ausspreche. Heißt das
> "M modulo U"? Denn eine Klasse davon wäre ja K:={m+U} und
> M/U sind ja dann alle diese Klassen.
Ja, so kenne ich das auch.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 So 13.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Hey,
vielen Dank für die schnelle Antwort, jetzt ist alles klar.
Gruß
Kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 So 13.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 2.
> Bezüglich Thema Restklassen. Das hab ich verstanden, aber
> ich weiß nicht, wie ich M/U richtig ausspreche. Heißt das
> "M modulo U"? Denn eine Klasse davon wäre ja [mm] $K:=\{m+U\}$ [/mm] und
Wenn du die geschweiften Klammern weglaesst, stimmt es.
> M/U sind ja dann alle diese Klassen. Kann mir vielleicht
> auch hier weitergeholfen werden?
Die Aussprache "M modulo U" ist denk ich die verbreiteste. Bei konkreten Faellen wie [mm] $\IZ/7\IZ$ [/mm] oder [mm] $\IZ/(7)$ [/mm] sagt man auch gerne mal "Zett modulo 7" (anstelle "Zett modulo 7 Zett" oder "Zett modulo dem von 7 erzeugten Ideal") oder sogar nur "Zett 7".
LG Felix
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