problem mit einer dose... < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Folgendes Problem: Ich habe eine Dose, Volumen= 850 ml. Ich suche den kleinstmoeglcihen Oberflaecheninhalt.
Formel fuers Volumen: V= [mm] \pi \*r^{2}\*h
[/mm]
nach [mm] \pi [/mm] aufloesen: [mm] \pi=V/(r^{2}\*h)
[/mm]
Formel fuer Oberflaecheninhalt: [mm] A_{o}=2\*(\pi \*r^{2})+2\*\pi \*r \*h
[/mm]
Volumenformel in Oberflaechinhaltformel einsetzen:
[mm] A_{o}=2\*(V/(r^{2}\*h) \*r^{2})+2\*V/(r^{2}\*h) \*r \*h
[/mm]
So jetzt kann man wunderbar kuerzen, es ergibt sich:
[mm] 2\*V/h+2\*V/r
[/mm]
so jetzt komme ich nicht mehr weiter... es kann natuerlich gut sein, dass cih mittendrin einen gravierenden Fehler gemacht habe..
Liebe Gruesse,
milky-way
Ich habe die frage in kein anderes Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo milky-way und Grüße nach Fernost ![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]") ...
> Folgendes Problem: Ich habe eine Dose, Volumen= 850 ml.
> Ich suche den kleinstmoeglcihen Oberflaecheninhalt.
> Formel fuers Volumen: V= [mm]\pi \*r^{2}\*h[/mm]
> nach [mm]\pi[/mm] aufloesen: [mm]\pi=V/(r^{2}\*h)[/mm]
> Formel fuer Oberflaecheninhalt: [mm]A_{o}=2\*(\pi \*r^{2})+2\*\pi \*r \*h[/mm]
>
> Volumenformel in Oberflaechinhaltformel einsetzen:
> [mm]A_{o}=2\*(V/(r^{2}\*h) \*r^{2})+2\*V/(r^{2}\*h) \*r \*h[/mm]
Hier sind Dir leider ein/zwei Fehler unterlaufen ...
Eine der beiden Formeln nach [mm] $\pi$ [/mm] umzustellen bringt Dich überhaupt nicht weiter, da [mm] $\pi$ [/mm] ja "nur" eine konstante Zahl ist [mm] ($\pi [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 3,14159$).
Das Umstellen und Einsetzen soll ja bewirken, daß wir eine der beiden Unbekannten (h oder r) eliminieren können.
Da das Volumen nun angegeben ist mit $850 \ ml \ = \ 850 \ [mm] cm^3$, [/mm] werden wir diese Formel nun umstellen nach h (das bietet sich hier an, da bei Umstellen nach r häßliche Wurzeln entstehen würden).
Wenn wir dann dieses ermittelte h einsetzen in die Oberflächenformel, erhältst Du eine Funktion, die nur noch abhängig ist von einer Variablen, nämlich r.
Damit kannst Du dann Deine Extremwertberechnung durchführen ...
Kommst Du mit diesen Hinweisen etwas weiter?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
> > Folgendes Problem: Ich habe eine Dose, Volumen= 850 ml.
> > Ich suche den kleinstmoeglcihen Oberflaecheninhalt.
> > Formel fuers Volumen: V= [mm]\pi \*r^{2}\*h[/mm]
> > nach [mm]\pi[/mm]
> aufloesen: [mm]\pi=V/(r^{2}\*h)[/mm]
>
> > Formel fuer Oberflaecheninhalt: [mm]A_{o}=2\*(\pi \*r^{2})+2\*\pi \*r \*h[/mm]
>
> >
> > Volumenformel in Oberflaechinhaltformel einsetzen:
> > [mm]A_{o}=2\*(V/(r^{2}\*h) \*r^{2})+2\*V/(r^{2}\*h) \*r \*h[/mm]
>
> Hier sind Dir leider ein/zwei Fehler unterlaufen ...
>
> Eine der beiden Formeln nach [mm]\pi[/mm] umzustellen bringt Dich
> überhaupt nicht weiter, da [mm]\pi[/mm] ja "nur" eine konstante Zahl
> ist ([mm]\pi \ \approx \ 3,14159[/mm]).
>
> Das Umstellen und Einsetzen soll ja bewirken, daß wir eine
> der beiden Unbekannten (h oder r) eliminieren können.
>
> Da das Volumen nun angegeben ist mit [mm]850 \ ml \ = \ 850 \ cm^3[/mm],
> werden wir diese Formel nun umstellen nach h (das bietet
> sich hier an, da bei Umstellen nach r häßliche Wurzeln
> entstehen würden).
>
> Wenn wir dann dieses ermittelte h einsetzen in die
> Oberflächenformel, erhältst Du eine Funktion, die nur noch
> abhängig ist von einer Variablen, nämlich r.
Ja, ok das wars vermutlich danke  dann loese ich die Volumformel nach h auf: [mm] h=V/(r^{2}\*\pi)
[/mm]
Jetzt einsetzen in die Oberflaecheninhaltsformel:
[mm] A_{o}=2\*(\pi \*r^{2})+2\*\pi \*r \*V/(r^{2}\*\pi)
[/mm]
gekurzt haben wir nun: [mm] A_{o}=2\*(\pi \*r^{2})+2\*V/r
[/mm]
So, nun ein weiteres Problem: Wie wandle ich diese allgemeine Funktion in eine Scheitelpunktform um, wenn ich eine variable im Nenner habe?
Viele Gruesse aus dem fernen Osten
milky-way
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Hallo milky-way,
> Hallo Loddar,
> > > Folgendes Problem: Ich habe eine Dose, Volumen= 850
> ml.
> > > Ich suche den kleinstmoeglcihen Oberflaecheninhalt.
> > > Formel fuers Volumen: V= [mm]\pi \*r^{2}\*h[/mm]
> > > nach [mm]\pi[/mm]
> > aufloesen: [mm]\pi=V/(r^{2}\*h)[/mm]
> >
> > > Formel fuer Oberflaecheninhalt: [mm]A_{o}=2\*(\pi \*r^{2})+2\*\pi \*r \*h[/mm]
>
> >
> > >
> > > Volumenformel in Oberflaechinhaltformel einsetzen:
> > > [mm]A_{o}=2\*(V/(r^{2}\*h) \*r^{2})+2\*V/(r^{2}\*h) \*r \*h[/mm]
>
> >
> > Hier sind Dir leider ein/zwei Fehler unterlaufen ...
> >
> > Eine der beiden Formeln nach [mm]\pi[/mm] umzustellen bringt Dich
> > überhaupt nicht weiter, da [mm]\pi[/mm] ja "nur" eine konstante Zahl
> > ist ([mm]\pi \ \approx \ 3,14159[/mm]).
> >
> > Das Umstellen und Einsetzen soll ja bewirken, daß wir eine
> > der beiden Unbekannten (h oder r) eliminieren können.
> >
> > Da das Volumen nun angegeben ist mit [mm]850 \ ml \ = \ 850 \ cm^3[/mm],
> > werden wir diese Formel nun umstellen nach h (das bietet
> > sich hier an, da bei Umstellen nach r häßliche Wurzeln
> > entstehen würden).
> >
> > Wenn wir dann dieses ermittelte h einsetzen in die
> > Oberflächenformel, erhältst Du eine Funktion, die nur noch
> > abhängig ist von einer Variablen, nämlich r.
> Ja, ok das wars vermutlich danke dann loese ich die
> Volumformel nach h auf: [mm]h=V/(r^{2}\*\pi)[/mm]
> Jetzt einsetzen in die Oberflaecheninhaltsformel:
> [mm]A_{o}=2\*(\pi \*r^{2})+2\*\pi \*r \*V/(r^{2}\*\pi)[/mm]
>
> gekurzt haben wir nun: [mm]A_{o}=2\*(\pi \*r^{2})+2\*V/r[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> So,
> nun ein weiteres Problem: Wie wandle ich diese allgemeine
> Funktion in eine Scheitelpunktform um, wenn ich eine
> variable im Nenner habe?
.. gar nicht ...
Aber du weißt, dass r>0 gelten muss, weil es sich ja um einen Radius (=Strecke) handelt.
1. Weg:
du zeichnest dir mit Hilfe einer Wertetabelle den Graphen dieser Funktion (oder mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot) und erkennst dann sehr schnell, wo das Minimum liegt.
Man bekommt bei solchen Aufgaben eh meist gerundete Zahlen heraus ...
2. Weg:
Du kennst schon die Differentialrechnung und kannst damit das Minimum der Funktion ermitteln. (glaube ich aber nicht, weil wir hier im Forum 9. Klasse antworten)
Ich glaube nicht, dass man die Aufgabe mit einer quadratischen Funktion (und deren Scheitelpunktform) lösen kann.
Ich behandele diese Art Funktionen erst in der 11.Klasse!
Aber vielleicht kennt jemand noch einen anderen Weg?
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