punktweise Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] h_{n}:\IR\to\IR, h_{n}(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^2}{(1+x^2)^k}
[/mm]
Überprüfen Sie die Folge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
Hallo zusammen,
Ich hab die Aufgabe gelöst, bin aber nicht ganz sicher, ob meine Argumentation schlüssig ist:
1. Reihe umgeformt, so dass sie der geometrischen Reihe entspricht:
[mm] x^2*\summe_{k=0}^{n}(\bruch{1}{1+x^2})^k, [/mm] mit [mm] \bruch{1}{1+x^2}=q
[/mm]
2. Konvergenzbedingungen und Reihenwert der geometrischen Reihe sind bekannt:
für |q|<1 konvergiert die geom. Reihe gegen [mm] \bruch{1}{1-q}. [/mm] daher konvergiert die Reihe gegen [mm] x^2+1, [/mm] solange [mm] x\not=0
[/mm]
3. Für x=0 ist [mm] h_{n}=0
[/mm]
4. Für jedes x existiert also ein Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}h_{n}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ x^2+1 & \mbox{für } x\not=0 \end{cases}
[/mm]
[mm] \Rightarrow h_{n} [/mm] konvergiert punktweise
5. Weil die Grenzfunktion unstetig ist, konvergiert [mm] h_{n} [/mm] nicht gleichmäßig
Ist das so nachvollziehbar und korrekt?
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Hallo,
ich halte alles ür richtig, was Du schreibst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:24 So 02.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo angela
fuer x=0 ist der GW falsch, naemlich [mm] \infty.
[/mm]
Gruss leduart
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> Hallo angela
> fuer x=0 ist der GW falsch, naemlich [mm]\infty.[/mm]
> Gruss leduart
Hallo,
die Funktionenfolge ist doch [mm] h_n [/mm] mit
[mm] h_{n}:\IR\to\IR, h_{n}(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^2}{(1+x^2)^k} [/mm]
An der Stelle x=0 haben wir [mm] h_{n}(0)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{0^2}{(1+0^2)^k} [/mm] =0.
Gruß v. Angela
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Super, vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 So 02.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz doch nochmal in die urspr. Reihe x=0 ein und sieh ob du nen GW kriegst.
nicht glm stetig bleibt richtig.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:16 Mo 03.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sorry, ich hab wohl geschlafen und nur die Reihe mit dem ausgeklammerten x angesehen. Die Herleitung ist voellig richtig.
Gruss leduart
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