q-adische Darstellung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Do 13.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | | Was sind die 2-adischen Darstellungen von 1/7 und 1/5? |
Bitte bitte helft mir!
Ich bin schon die ganze Zeit dabei, diese beiden Brüche irgendwie zu zerlegen, damit ich eine 2-adische Darstellung erhalte, aber es klappt einfach nicht.
Gibts dafür ein Schema? Ich habs einfach mal ausprobiert, bin aber auf keine Lösung gekommen.
Vielen Dank schonmal!
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> Was sind die 2-adischen Darstellungen von 1/7 und 1/5?
> Bitte bitte helft mir!
> Ich bin schon die ganze Zeit dabei, diese beiden Brüche
> irgendwie zu zerlegen, damit ich eine 2-adische Darstellung
> erhalte, aber es klappt einfach nicht.
> Gibts dafür ein Schema? Ich habs einfach mal ausprobiert,
> bin aber auf keine Lösung gekommen.
> Vielen Dank schonmal!
Sehe ich es richtig, dass es darum geht, die Brüche
als periodische Binärzahlen darzustellen ?
Dann könnte man z.B. so vorgehen:
[mm] \bruch{1}{7} \ge [/mm] 1 ? nein, also [mm] \bruch{1}{7}=0. [/mm] ...
[mm] \bruch{1}{7} \ge\bruch{1}{2} [/mm] ? nein, also [mm] \bruch{1}{7}=0.0...
[/mm]
[mm] \bruch{1}{7} \ge\bruch{1}{4} [/mm] ? nein, also [mm] \bruch{1}{7}=0.00...
[/mm]
[mm] \bruch{1}{7} \ge\bruch{1}{8} [/mm] ? ja, also [mm] \bruch{1}{7}=0.001...
[/mm]
Rest [mm] \bruch{1}{7} -\bruch{1}{8}=\bruch{1}{56}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{56} \ge\bruch{1}{16} [/mm] ? nein, also [mm] \bruch{1}{7}=0.0010...
[/mm]
etc.
Das ist etwas mühsam, aber zeigt einmal das Prinzip.
Eine elegantere Methode wäre folgende:
Wir wissen, dass eine periodische Zahl herauskommen
muss. Eine solche kann man stets als geometrische
Reihe auffassen. Nun probieren wir, eine passende
geometrische Reihe zu finden, welche die Summe [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
hat und nur aus Summanden der Form [mm] \bruch{1}{2^n}
[/mm]
besteht. Dabei denken wir an die Summenformel
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}a*q^n=a*\bruch{1}{1-q}\qquad [/mm] (|q|<1)$
Es gilt:
[mm] \bruch{1}{7}=\bruch{\bruch{1}{8}}{\bruch{7}{8}}=\bruch{1}{8}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{8}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}*\left(1+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{8^2}+\bruch{1}{8^3}+ ... \right)
[/mm]
$\ =0.001*(1+0.001+0.000001+0.000000001+.......)$
[mm] =0.001*(1.001001001.....)=0.001001001....=0.\overline{001}
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Do 13.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Ähm okay, ich weiß jetzt nicht was du da gemacht hast, aber ich glaube, ich meinte was anderes.
Die 2-adische Darstellung von 1/7 oder 1/5 sollte etwa so aussehen:
[mm] 0*2^{-1}+5*2^{-2}+... [/mm] oder irgendwie in dieser Form.
Dafür gibts ja diese Formel, die q-adische Darstellung:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}q^{-1}
[/mm]
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Hallo Shelli,
> Ähm okay, ich weiß jetzt nicht was du da gemacht hast, aber
> ich glaube, ich meinte was anderes.
>
> Die 2-adische Darstellung von 1/7 oder 1/5 sollte etwa so
> aussehen:
>
> [mm]0*2^{-1}+5*2^{-2}+...[/mm] oder irgendwie in dieser Form.
>
> Dafür gibts ja diese Formel, die q-adische Darstellung:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}q^{-1}[/mm]
Die Formel lautet korrekt:
[mm]r_{0}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{q^{n}}[/mm]
mit [mm]0 < r_{0} < 1[/mm]
und [mm]a_{n} \in \left\{0,1, \ \dots \ , q-1\right\} \subset \IN_{0}[/mm]
Nun zur Berechnung der q-adischen Darstellung.
Dazu multiplizieren wir die genannte Formel mit q durch und erhalten:
[mm]r_{0}*q=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{q^{n-1}}=a_{1}+\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{a_{n}}{q^{n-1}}[/mm]
Hieraus gewinnen wir [mm]a_{1}[/mm] zu: [mm]a_{1}:=\left[r_{0}*q\right][/mm]
,wobei [] die Gaußklammer ist, also die größte ganze Zahl [mm] \le r_{o}*q[/mm].
und demzufolge [mm]r_{1}:=r_{0}*q-a_{1}[/mm]
Das geht jetzt so weiter, und wir erhalten:
[mm]a_{k}:=\left[r_{k-1}*q\right][/mm]
[mm]r_{k}:=r_{k-1}*q-a_{k}[/mm]
für [mm]k>0, \ k \in \IN[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 13.11.2008 | | Autor: | Shelli |
kannst du das mal auf eins meiner aufgaben anwenden und ich versuche dann die andere? denn ich verstehs immer noch nicht so ganz. 
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Hallo Shelli,
> kannst du das mal auf eins meiner aufgaben anwenden und ich
> versuche dann die andere? denn ich verstehs immer noch
> nicht so ganz.
[mm]\underbrace{\bruch{1}{7}}_{r_{0}}*2=\bruch{2}{7}=\underbrace{0}_{=a_{1}}*2+\underbrace{\bruch{2}{7}}_{=r_{1}}[/mm]
[mm]\underbrace{\bruch{2}{7}}_{r_{1}}*2=\bruch{4}{7}=\underbrace{0}_{=a_{2}}*2+\underbrace{\bruch{4}{7}}_{=r_{2}}[/mm]
[mm]\underbrace{\bruch{4}{7}}_{r_{2}}*2=\bruch{8}{7}=\underbrace{1}_{=a_{3}}*2+\underbrace{\bruch{1}{7}}_{=r_{3}}[/mm]
Da sich die Rechnungen jetzt wiederholen ist
[mm]\bruch{1}{7}}=\bruch{0}{2}+\bruch{0}{2^{2}}+\bruch{1}{2^{3}}+\bruch{0}{2^{4}}+\bruch{0}{2^{5}}+\bruch{1}{2^{6}}+\dots[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 13.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Okay jetzt hab ich verstanden wie du vorgegangen bist. :)
Aber stimmt jetzt meine folgende Darstellung:
Denn für 1/5 wäre dann die 2-adische Darstellung:
[mm] 0/2^{1}+0/2^{2}+1/2^{3}+3/2^{4}+...
[/mm]
und wenn man schonmal den ersten Teil zusammen addiert, kommt man auf 0,315 was schonmal größer ist als 1/5?!
Wo ist der Fehler?
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Hallo Shelli,
> Okay jetzt hab ich verstanden wie du vorgegangen bist. :)
> Aber stimmt jetzt meine folgende Darstellung:
>
> Denn für 1/5 wäre dann die 2-adische Darstellung:
>
> [mm]0/2^{1}+0/2^{2}+1/2^{3}+3/2^{4}+...[/mm]
>
> und wenn man schonmal den ersten Teil zusammen addiert,
> kommt man auf 0,315 was schonmal größer ist als 1/5?!
> Wo ist der Fehler?
[mm]\bruch{0}{2^{1}}+\bruch{0}{2^{2}}+\bruch{1}{2^{3}}+\bruch{\red{3}}{2^{4}}+ \dots[/mm]
3 ist in der 2-adischen Darstellung nicht erlaubt. Erlaubt sind nur 0 und 1.
Gruß
MathePower
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Hallo Shelli,
> wuaah okay du hast recht, nur [0,1) aber trotzdem komme
> ich mit deiner Formel auf kein Ergebnis.
Ich komme auf ein Ergebnis.
>
> Du hast angegeben: [mm]r_{k}:= r_{k-1}*q-a_{k}[/mm] aber [mm]a_{k}[/mm] ist
> ja [mm][r_{k-1}*q].[/mm] Da kommt dann immer eine Zahl < 1 raus.
Ok, die "0" ist auch kleiner als 1.
Da [mm]0 \le r_{k-1}<1[/mm] gilt: [mm] 0 \le [r_{k-1}*q] < q[/mm].
Ich habe doch geschrieben: [mm][r_{k-1}*q][/mm] ist die größte ganze Zahl [mm] a_{k} [/mm] für die gilt [mm]a_{k] \le r_{k--1}*q[/mm]
>
> Bitte bitte verzweifel noch nicht an mir und erklär mir das
> nochmal.
Damit ich Dir besser helfen kann, poste doch mal Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Do 13.11.2008 | | Autor: | Shelli |
also:
[mm] [\bruch{1}{5}*2]<1 [/mm] deshalb der erste Term [mm] 0*2^{-1}
[/mm]
[mm] [\bruch{2}{5}*2]<1 [/mm] deshalb ist der zweite Term [mm] 0*2^{-2}
[/mm]
[mm] [\bruch{4}{5}*2]<2 [/mm] deshalb ist der dritte Term [mm] 1*2^{-3}
[/mm]
usw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Do 13.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo Shelli,
> also:
>
> [mm][\bruch{1}{5}*2]<1[/mm] deshalb der erste Term [mm]0*2^{-1}[/mm]
> [mm][\bruch{2}{5}*2]<1[/mm] deshalb ist der zweite Term [mm]0*2^{-2}[/mm]
> [mm][\bruch{4}{5}*2]<2[/mm] deshalb ist der dritte Term [mm]1*2^{-3}[/mm]
> usw.
Es gibt noch einen vierten Term:
[mm][\bruch{3}{5}*2]<2[/mm] deshalb ist der dritte Term [mm]1*2^{-4}[/mm]
Gruß
MathePower
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> Ähm okay, ich weiß jetzt nicht was du da gemacht hast,
ich habe den Bruch [mm] \bruch{1}{7} [/mm] in eine Reihe
verwandelt, deren Glieder alle von der Form [mm] a_n*2^{-n}
[/mm]
sind, mit [mm] a_n\in \{0,1\} [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Das ist genau das, was du brauchst.
> aber ich glaube, ich meinte was anderes.
>
> Die 2-adische Darstellung von 1/7 oder 1/5 sollte etwa so
> aussehen:
>
> [mm]0*2^{-1}+5*2^{-2}+...[/mm] oder irgendwie in dieser Form.
>
> Dafür gibts ja diese Formel, die q-adische Darstellung:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}q^{-1}[/mm]
Hallo Shelli,
du hast wohl nur nicht gemerkt, dass das eigentlich
genau dasselbe ist.
So bedeutet doch die Dezimalzahl 0.313131....
nichts anderes als
[mm] 3*10^{-1}+1*10^{-2}+3*10^{-3}+1*10^{-4}+3*10^{-5}+.....
[/mm]
Also bedeutet die Darstellung [mm] 0.\overline{001}=0.001001001...
[/mm]
von [mm] \bruch{1}{7} [/mm] im Binärsystem, die ich hergeleitet habe,
nichts anderes als:
[mm] 0*2^{-1}+0*2^{-2}+1*2^{-3}+0*2^{-4}+0*2^{-5}+1*2^{-6}+0*2^{-7}+..... [/mm]
oder im Klartext:
[mm] \bruch{0}{2}+\bruch{0}{4}+\bruch{1}{8}+\bruch{0}{16}+\bruch{0}{32}+\bruch{1}{64}+\bruch{0}{128}+\bruch{0}{256}+\bruch{1}{512}+ [/mm] .....
[mm] =\bruch{1}{8}+\bruch{1}{64}+\bruch{1}{512}+.....
[/mm]
oder wenn du willst:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n*2^{-n}\qquad [/mm] mit [mm] a_n=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } n \mbox{ durch 3 teilbar} \\ 0, & \mbox{ sonst}\end{cases}
[/mm]
Um zu einer Binärdarstellung von [mm] \bruch{1}{5} [/mm] zu kommen,
könntest du z.B. von folgender Gleichung ausgehen:
$\ [mm] \bruch{1}{5}=\bruch{3}{15}=\bruch{\bruch{3}{16}}{\bruch{15}{16}}=\bruch{3}{16}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{16}}$
[/mm]
$\ [mm] =\bruch{3}{16}*\left(1+\bruch{1}{16}+\bruch{1}{16^2}+\bruch{1}{16^3}+......\right)$
[/mm]
$\ [mm] =\bruch{3}{16}*\left(1+\bruch{1}{2^4}+\bruch{1}{2^8}+\bruch{1}{2^{12}}+......\right)$
[/mm]
$\ =0.0011*(1+0.0001+0.00000001+0.000000000001+.....)$
$\ =0.00110011001100110011.....$
$\ [mm] =0.\overline{0011}$
[/mm]
LG
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