matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheoriequadratfreiheit
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Zahlentheorie" - quadratfreiheit
quadratfreiheit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

quadratfreiheit: Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Fr 28.02.2020
Autor: wauwau

Aufgabe
[math]q_i, i=1,...m[/math] seien unterschiedliche Primzahlen mit [math]\prod_{i=1}^m q_i = 3^n-2[/math] für ein [math] n \in \IN [/math]
Zeige, dass es dann nicht möglich ist, dass [math]\prod_{i=1}^m q_i - \prod_{i=1}^m (q_i - 1) = 3^{n-1} [/math] gilt.

Bis jetzt kann ich nur zeigen, dass wenn man annimmt, dass [math]m>1[/math], dass dann n ungerade sein muss. Sonst komm ich nicht weiter.
Hat irgendwas mit Eigenschaften von quadratfreien Zahlen zu tun...

        
Bezug
quadratfreiheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Sa 29.02.2020
Autor: HJKweseleit


> [math]q_i, i=1,...m[/math] seien unterschiedliche Primzahlen mit
> [math]\prod_{i=1}^m q_i = 3^n-2[/math] für ein [math]n \in \IN[/math]
> Zeige, dass es dann nicht möglich ist, dass [math]\prod_{i=1}^m q_i - \prod_{i=1}^m (q_i - 1) = 3^{n-1}[/math]
> gilt.
>  Bis jetzt kann ich nur zeigen, dass wenn man annimmt, dass
> [math]m>1[/math], dass dann n ungerade sein muss. Sonst komm ich nicht
> weiter.
>  Hat irgendwas mit Eigenschaften von quadratfreien Zahlen
> zu tun...





Ich habe herausgefunden, dass m gerade sein muss (wobei ich nicht weiß, ob das von Bedeutung ist), aber auch noch ein bisschen mehr.

Nehmen wir an, dass beide Gleichungen erfüllt sein können und was dann zum Widerspruch geführt werden müsste.

Aus  [math]\prod_{i=1}^m q_i = 3^n-2[/math] für ein [math]n \in \IN[/math]  folgt:

- n=0 und n=1 scheiden aus, wie man durch Einsetzen rechts sieht. Damit sind [mm] 3^n [/mm] und [mm] 3^{n-1} [/mm] auf jeden Fall Vielfache von 3.

- keines der [mm] q_i [/mm] ist 2, da sonst die linke Seite gerade wäre, die rechte ist aber ungerade.

- keines der [mm] q_i [/mm] ist 3, sonst stünde links ein Vielfaches von 3, was aber rechts nicht der Fall ist.


[mm] \underline{Wir\ betrachten\ nun\ alles\ mod 3!} [/mm]

Die rechte Seite der Gleichung ist [mm] 3^n-2=3^n-3+1=1 [/mm] mod 3.

Da die [mm] q_i [/mm] prim und [mm] \ne [/mm] 3 sind, sind sie somit immer 1 mod 3 oder 2 mod 3. Fassen wir zuerst diejenigen mit 1 mod3 zusammen und multiplizieren wir diese, so gibt das den Wert 1 mod3. Multiplizieren wir nun mit einem [mm] q_i, [/mm] das den Wert 2 mod 3 hat, so ergibt sich als Ergebnis 2 mod 3. Die rechte Seite ist aber 1 mod3. Deshalb brauchen wir noch ein weiteres [mm] q_i [/mm] mit 2 mod 3, da 2*2=4=1 mod 3 gibt.

Fazit: Zu jedem [mm] q_k [/mm] mit 2 mod3 muss es einen Partner mit ebenfalls 2 mod 3 geben.

Nun schauen wir uns die zweite Gleichung mod 3 an. Die rechte Seite gibt 0 mod 3. Nach oben Gesagtem gibt links der erste Term [mm] \prod_{i=1}^m q_i [/mm] den Wert 1 mod3. Dann muss der Term [math] \prod_{i=1}^m (q_i - 1) [/math] ebenfalls den Wert 1 mod 3 geben. Das bedeutet aber, dass keines der [mm] q_i [/mm] den Wert 1 mod 3 haben kann, denn dann hätte [mm] (q_i-1) [/mm] den Wert 0 mod3, und das ganze zweite Produkt wäre 0 mod3 statt 1 mod 3.

Fazit: Es können nur [mm] q_k [/mm] mit 2 mod 3 vorkommen. Jedes davon muss aber, wie oben gezeigt, einen Partner haben. Somit muss m gerade sein.



Nun zu einem ganz anderen Zusammenhang:

Was bedeutet der Term [math] \prod_{i=1}^m (q_i - 1) [/math]?

Er erinnert an die der Eulersche [mm] \varphi [/mm] -Funktion. [mm] \varphi(N) [/mm] gibt an, wie viele der Zahlen 1, 2, 3, ...,N zu N teilerfremd sind. Das berechnet sich zu

[math]\varphi(N)=N*\prod_{i=1}^k (1-\bruch{1}{q_i}) [/math], wobei die [mm] q_i [/mm] alle in N vorkommenden Primfaktoren sind, aber jeweils nur einfach gezählt.

Für N=[math] \prod_{i=1}^m q_i [/math] gilt, dass jedes [mm] q_i [/mm] ja nur einmal vorkommt, so dass [math]N*\prod_{i=1}^m (1-\bruch{1}{q_i}) [/math] alle zu N teilerfreien Zahlen von 1 bis N zählt.

Nun ist aber [math]N*\prod_{i=1}^m (1-\bruch{1}{q_i}) [/math]=[math]\prod_{i=1}^m q_i*\prod_{i=1}^m (1-\bruch{1}{q_i}) [/math][mm] =\prod_{i=1}^m q_i(1-\bruch{1}{q_i})=\prod_{i=1}^m (q_i-1) [/mm] die Anzahl der zu N teilerfremden Zahlen und damit [math]N - \prod_{i=1}^m (q_i - 1) = \prod_{i=1}^m q_i - \prod_{i=1}^m (q_i - 1) = 3^{n-1}[/math] die Anzahl der Zahlen von 1 bis N, die mit N mindestens einen gemeinsamen Teiler haben.

Vielleicht hilft dir das mit den obigen Betrachtungen zusammen weiter.

Bezug
                
Bezug
quadratfreiheit: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:56 So 01.03.2020
Autor: wauwau

Danke dir

Bezug
                
Bezug
quadratfreiheit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:14 So 01.03.2020
Autor: wauwau

Aufgabe
Wie könnte ich weiterkommen?

Hab nun bereits gezeigt, dass die [math]q_i \equiv -1(6)[/math] sein  müssen, und dass [math]m \ge 16[/math] und [math]n \ge 2^{13}+1[/math]
falls es ein Lösung gäbe....


Bezug
                        
Bezug
quadratfreiheit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mi 01.04.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]