"quadratische" Cosinusfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Blabb |
| Aufgabe | | Finde alle Nullstellen von [mm] cos(x^2 [/mm] - x) - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit dieser Art von "periodischen" Funktionen. "Normale" Gleichungen dieser Art sind ja eigentlich recht gut zu lösen, da die Periode bei Funktionen wie sin(x) konstant ist. Nun nimmt der Abstand zwischen zwei gleichen Werten von Funktionen wie [mm] cos(x^2) [/mm] aber ab und ich bin noch nicht wirklich dahintergekommen, wie man das vernünftig ausdrückt.
Ich nehme an man muss eine Funktion finden, die irgendwie die "Periode", oder vielleicht sagt man jetzt eher Frequenz, beschreibt und dann zu den bekannten Nullstellen addieren, aber ich bin mir nicht sicher.
Die Nullstellen, die ich jetzt erst mal normal ausgerechnet habe sind [mm] \bruch{1\pm \wurzel{1+\pi}}{2}, [/mm] nur die Angabe der Menge der Nullstellen bereitet mir Schwierigkeiten.
Gibt es eine allgemeine Methode um Lösungen solcher Funktionen mir sich verändernder (aber sich "mit System" verändernd) Frequenz zu bestimmen?
Danke für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(Ich habe die Frage kurz nach dem Erstellen noch mal editiert, da in der Aufgabe ein Vorzeichen falsch war.)
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Moin Blabb,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Finde alle Nullstellen von [mm]cos(x^2[/mm] - x) -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe ein kleines Problem mit dieser Art von
> "periodischen" Funktionen. "Normale" Gleichungen dieser Art
> sind ja eigentlich recht gut zu lösen, da die Periode bei
> Funktionen wie sin(x) konstant ist. Nun nimmt der Abstand
> zwischen zwei gleichen Werten von Funktionen wie [mm]cos(x^2)[/mm]
> aber ab und ich bin noch nicht wirklich dahintergekommen,
> wie man das vernünftig ausdrückt.
>
> Ich nehme an man muss eine Funktion finden, die irgendwie
> die "Periode", oder vielleicht sagt man jetzt eher
> Frequenz, beschreibt und dann zu den bekannten Nullstellen
> addieren, aber ich bin mir nicht sicher.
>
> Die Nullstellen, die ich jetzt erst mal normal ausgerechnet
> habe sind [mm]\bruch{1\pm \wurzel{1+\pi}}{2},[/mm]
Wie kommst du denn darauf?
Setze [mm] y:=x^2-x.
[/mm]
Dann [mm] \cos(y)=\frac{1}{\sqrt{2}}\gdw y=2k\pi\pm\pi/4, k\in\IZ.
[/mm]
Es bleiben nun noch die quadratische Gleichungen
(i) [mm] x^2-x=2k\pi+\pi/4
[/mm]
(ii) [mm] x^2-x=2k\pi-\pi/4
[/mm]
zu lösen [mm] (k\in\IZ).
[/mm]
Behandle die rechte Seite wie eine Konstante (k ist ja nur ein Parameter). So muss du im Wesentlichen nur einmal umstellen und PQ-Formel anwenden.
> nur die Angabe
> der Menge der Nullstellen bereitet mir Schwierigkeiten.
>
> Gibt es eine allgemeine Methode um Lösungen solcher
> Funktionen mir sich verändernder (aber sich "mit System"
> verändernd) Frequenz zu bestimmen?
Das Berechnen der 'normalen' Nullstellen ist meistens ein ganz guter Ansatz.
>
> Danke für die Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> (Ich habe die Frage kurz nach dem Erstellen noch mal
> editiert, da in der Aufgabe ein Vorzeichen falsch war.)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Blabb |
>Wie kommst du denn darauf?
Nun, ich habe erst mal zu [mm] x^2-x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] umgestellt und dann die Nullstellen berechnet. Habe ich eigentlich auch sicherhaltshalber noch mit dem Plot verglichen. Bringt mir aber ohne einen Parameter wie k nicht viel, daher finde ich deinen Ansatz schon besser. Ich bin mir auch immer nicht so sicher, wie ich mich wegen des Wertebereichs der Arkusfunktionen verhalten soll. Der Arkuskosinus geht ja nach [mm] [0,\pi], [/mm] daher liegt die eine von meinen Nullstellen wohl in dem Bereich.
Nun noch mal zu deinem Hinweis:
[mm] >\cos(y)=\frac{1}{\sqrt{2}}\gdw y=2k\pi\pm\pi/4, k\in\IZ.
[/mm]
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden. Der Teil mit [mm] 2k\pi [/mm] gilt weil [mm] \cos(y) [/mm] = [mm] \cos(y [/mm] + [mm] 2k\pi) [/mm] und nach dem Umformen mit Arcuskosinus nur y + [mm] 2k\pi [/mm] bleibt, oder? Warum sind es [mm] \pm \pi/4? [/mm] Der Arkuskosinus von [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] ergibt (in seinem Wertebereich) ja nur [mm] \pi/4, [/mm] aber man rechnet wohl noch - [mm] \pi/4 [/mm] da die Funktion symmetrisch ist?
Auf jeden Fall schon mal vielen Dank für deine Hilfe. Ich werde mal die beiden Gleichungen auflösen (bzw. es versuchen). Das k bereitet mir hoffentlich keine Schwierigkeiten, bloß auf die Idee zu kommen fiel mir schwer. Aber eigentlich ist es ja ziemlich einleuchtend.
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Hallo Blabb,
> >Wie kommst du denn darauf?
> Nun, ich habe erst mal zu [mm]x^2-x[/mm] - [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] umgestellt
> und dann die Nullstellen berechnet. Habe ich eigentlich
> auch sicherhaltshalber noch mit dem Plot verglichen. Bringt
> mir aber ohne einen Parameter wie k nicht viel, daher finde
> ich deinen Ansatz schon besser.
Ja, kamaleontis Ansatz ist vollständig, Deiner nicht.
> Ich bin mir auch immer
> nicht so sicher, wie ich mich wegen des Wertebereichs der
> Arkusfunktionen verhalten soll. Der Arkuskosinus geht ja
> nach [mm][0,\pi],[/mm] daher liegt die eine von meinen Nullstellen
> wohl in dem Bereich.
Hm. Der Arcuscosinus ist eine Funktion und daher eben nur die Umkehrung eines Teils der (periodischen) Cosinusfunktion. Gesetzt wird hier normalerweise in der Tat das Zielintervall [mm] [0,\pi].
[/mm]
> Nun noch mal zu deinem Hinweis:
> [mm]>\cos(y)=\frac{1}{\sqrt{2}}\gdw y=2k\pi\pm\pi/4, k\in\IZ.[/mm]
>
> Ich hoffe ich habe das richtig verstanden. Der Teil mit
> [mm]2k\pi[/mm] gilt weil [mm]\cos(y)[/mm] = [mm]\cos(y[/mm] + [mm]2k\pi)[/mm] und nach dem
> Umformen mit Arcuskosinus nur y + [mm]2k\pi[/mm] bleibt, oder?
Ja, Du meinst das richtige. Der Cosinus ist [mm] 2\pi-periodisch. [/mm] Innerhalb dieser Periode werden nur die Werte +1 und -1 einmal, alle anderen zweimal erreicht. Daher...
> Warum
> sind es [mm]\pm \pi/4?[/mm] Der Arkuskosinus von [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm]
> ergibt (in seinem Wertebereich) ja nur [mm]\pi/4,[/mm] aber man
> rechnet wohl noch - [mm]\pi/4[/mm] da die Funktion symmetrisch ist?
Eben. Das ist die zweite Stelle, wo der Cosinus den Wert [mm] \tfrac{1}{2}\wurzel{2} [/mm] annimmt. Nebenbei: auch beim Sinus musst Du ja normalerweise eine zweite Lösung innerhalb der Periode annehmen, nur ist der Sinus nicht zu x=0 symmetrisch, sondern z.B. zu [mm] x=\tfrac{\pi}{2}.
[/mm]
> Auf jeden Fall schon mal vielen Dank für deine Hilfe. Ich
> werde mal die beiden Gleichungen auflösen (bzw. es
> versuchen). Das k bereitet mir hoffentlich keine
> Schwierigkeiten, bloß auf die Idee zu kommen fiel mir
> schwer. Aber eigentlich ist es ja ziemlich einleuchtend.
Das k bereitet keine Schwierigkeiten, man muss aber darauf achten, für welche k es überhaupt Lösungen gibt. 
Viel Erfolg,
reverend
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