matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Gleichungssystemequadratische Funktional
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - quadratische Funktional
quadratische Funktional < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

quadratische Funktional: Wie drücke ich phi aus?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Do 03.12.2020
Autor: rem

Aufgabe
Assume the quadratic function [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^{T}Ax [/mm] − [mm] b^{T}x, x\in\IR^{2} [/mm] with A = [mm] \pmat{2 & -1\\ -1 & 2} [/mm] and some arbitrary [mm] b\in\IR^{2}. [/mm]  Determine the eigenvectors and eigenvalues of  A and represent the function [mm] \phi [/mm] in the coordinates of the orthonormal basis system consisting of the normalized eigenvectors.

Hallo,

ich habe ein Problem mit diesem Beispiel. Also der erste Teil ist mir klar, eigenwerte und eigenvektoren von A ausrechnen. Für die Eigenwerte bekomme ich [mm] \lambda_1 [/mm] = +1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = +3 heraus. Für die zugehörigen Eigenwerte, erhalte ich dann [mm] \nu_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] sowie [mm] \nu_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}. [/mm]
Was aber ist im zweiten Teil der Aufgabe zu tun, also "[...]represent the function [mm] \phi [/mm] in the coordinates of the orthonormal basis system consisting of the normalized eigenvectors."? Sollen hier einfach die normalisierten Eigenvektoren für x in die quadratische Formel eingesetzt werden? Ich danke euch für jede Hilfe.

LG

        
Bezug
quadratische Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:57 Fr 04.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Darstellung von [mm] \phi [/mm] hängt ja von A ab… die Darstellung von A ist aber basisabhängig.
Nun hast du mit [mm] ${v_1,v_2}$ [/mm] eine weitere Basis gegeben (die im Übrigen noch nicht normiert ist, aber schon orthogonal, warum?).

Du sollst nun A (und damit [mm] \phi) [/mm] angeben in Bezug auf eine orthonormierte Basis aus den Eigenvektoren.
Heißt:
1.) Normiere die Basis
2.) Führe eine Basistransformation für A von der alten zur neuen Basis durch.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
quadratische Funktional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 So 06.12.2020
Autor: rem

Danke für deine Hilfe. Also ich verstehe das jetzt so:
Wie haben ja die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }. [/mm] Diese kann ich für das lineare Glg. System auch schreiben als [mm] x_1 \vektor{2 \\ -1} [/mm] + [mm] x_2\vektor{-1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{b_1 \\ b_2}. [/mm] Nun habe ich eine neue Basis von den orthonormalen eigenvectoren erhalten: [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}} [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}}. [/mm] B = [mm] \pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}} [/mm]
Nun wollen wir einen Basiswechsel der Matrix A durchführen. D.h.:

[mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 } \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}} \underbrace{\pmat{ T_{11} & T_{12} \\ T_{12} & T_{22}}}_{T} \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] . Dabei ist T meine Transformationsmatrix.

Stimmt das soweit?

Bezug
                        
Bezug
quadratische Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Mo 07.12.2020
Autor: meili

Hallo rem,

> Danke für deine Hilfe. Also ich verstehe das jetzt so:
>  Wie haben ja die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }.[/mm]
> Diese kann ich für das lineare Glg. System auch schreiben
> als [mm]x_1 \vektor{2 \\ -1}[/mm] + [mm]x_2\vektor{-1 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{b_1 \\ b_2}.[/mm] Nun habe ich eine neue Basis von den
> orthonormalen eigenvectoren erhalten: [mm]v_1[/mm] =
> [mm]\vektor{1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}}[/mm] und [mm]v_2[/mm] =
> [mm]\vektor{-1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}}.[/mm] B = [mm]\pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}}[/mm]
>  
> Nun wollen wir einen Basiswechsel der Matrix A
> durchführen. D.h.:
>  
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 } \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] = [mm]\pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}} \underbrace{\pmat{ T_{11} & T_{12} \\ T_{12} & T_{22}}}_{T} \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> . Dabei ist T meine Transformationsmatrix.
>  
> Stimmt das soweit?  

[ok]

und

[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } = \pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}} \underbrace{\pmat{ T_{11} & T_{12} \\ T_{12} & T_{22}}}_{T} [/mm]
also
[mm]T = \pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}}^{-1}[/mm]

Gruß
meili

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]