quadratische Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Nach wie viel Sekunden hat die Kugel eine Höhe von 500 m erreicht?
Teil b) einer Aufgabe |
t (s) 1 2 3 4 5 6 7
h (m) 115 200 315 400 575 540 595
8 9 10 11 12 13 14
640 675 700 715 720 715 700
15 16 17 18 19 20
675 640 595 540 475 400
zu dieser Wertetabelle soll die Lösung
5,4 s und 18,6 s sein.
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Hallo bärbelchen!
Entweder Du entnimmst die gesuchten Werte als Näherungswerte dieser Wertetabelle. Genauer geht es natürlich, wenn Du die zugehörige quadratische Funktion (= Parabel) aufstellst.
Dabei würde ich hier die Scheitelpunkts-Form $p(x) \ = \ [mm] a*(x-x_S)^2+y_S$ [/mm] ansetzen.
Der Scheitelpunkt scheint bei $S \ [mm] \left( \ 12 \ | \ 720 \ \right)$ [/mm] zu liegen. Durch Einsetzen eines weiteren Wertepaares kannst Du $a_$ berechnen und hast die vollständige Parabelgleichung.
Diese nun mit $y \ = \ 500$ gleichsetzen und nach $x \ = \ ...$ auflösen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Eine Kugel verlässt eine Pistole mit einer Geschwindigkeit vonm v0=12 m/s. Schießt man senkrecht nach oben, so wird das Geschoss durch die Gewichtskraft abgebremst und fällt nah einer gewissen Zeit auf den Boden zurück. Die Höhe h der Kugel (in m) nach einer Zeit t (in s) kan näherungsweise mit der Formel h=120*t-5t² berechnet werden.
a) Lege eine Wertetabelle an, die einer Zeit t die Höhe h der Kugel zuordnet für 1s [mm] \le [/mm] t [mm] \ge [/mm] 20s und zeichne den Graphen
b) nach wieviel Sekunden hat die Kugel eine Höhe von 500 m erreicht. |
die Wertetabelle hatte ich ja erstellt.
Hätte ich den Graphen gezeichnet, hätte ich wohl die Lösung ablesen können.
Ich hatte an eine rechnerische Lösung gedacht und mir war nur ein Dreisatz eingefallen. Keine richtige Lösung.
Allerdings weiß ich auch nicht wie ich zur Scheitelpunktform kommen kann y=(x+a)²+b
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Di 25.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Eine Kugel verlässt eine Pistole mit einer Geschwindigkeit
> vonm v0=12 m/s. Schießt man senkrecht nach oben, so wird
> das Geschoss durch die Gewichtskraft abgebremst und fällt
> nah einer gewissen Zeit auf den Boden zurück. Die Höhe h
> der Kugel (in m) nach einer Zeit t (in s) kan
> näherungsweise mit der Formel h=120*t-5t² berechnet werden.
> a) Lege eine Wertetabelle an, die einer Zeit t die Höhe h
> der Kugel zuordnet für 1s [mm]\le[/mm] t [mm]\ge[/mm] 20s und zeichne den
> Graphen
> b) nach wieviel Sekunden hat die Kugel eine Höhe von 500 m
> erreicht.
[mm]h=120t-5t^2[/mm] ist doch gegeben, Du suchst also die kleinere der beiden Lösungen zu [mm]-5t^2 +120t = 500[/mm].
Hattet ihr noch nicht die Lösungsformel für quadratische Gleichungen? (also [mm]ax^2+bx+c=0 \Rightarrow x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}[/mm])
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nein das hatten wir nicht
kenne nur die quadratische Funktion [mm] y=ax^2+bx+c
[/mm]
quadratische Ergänzung und
das mit der Lösungsformel x²+px+q mit [mm] (\bruch{p}{2})²-q>0
[/mm]
[mm] x1,2=-\bruch{p}{2}\pm \wurzel[n]{(\bruch{p}{2})²-q} [/mm] hatten wir noch nicht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Di 25.09.2007 | | Autor: | Blech |
> nein das hatten wir nicht
> kenne nur die quadratische Funktion [mm]y=ax^2+bx+c[/mm]
> quadratische Ergänzung und
>
> das mit der Lösungsformel x²+px+q mit [mm](\bruch{p}{2})²-q>0[/mm]
> [mm]x1,2=-\bruch{p}{2}\pm \wurzel[n]{(\bruch{p}{2})²-q}[/mm] hatten
> wir noch nicht
Dann nimm sie trotzdem her =)
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Hallo baerbelchen,
> nein das hatten wir nicht
> kenne nur die quadratische Funktion [mm]y=ax^2+bx+c[/mm]
> quadratische Ergänzung und
>
dann nimm genau diesen Weg!
[mm] h=120*t-5t^2 \gdw -5t^2+120t=h [/mm] und $h=500$ hast du gegeben.
[mm] -5t^2+120t=500 [/mm]
teile die Gleichung durch (-5), damit vor dem [mm] t^2 [/mm] eine 1 steht, und bestimme dann die quadratische  Ergänzung auf der linken Seite, die du dann auf beiden(!) Seiten ergänzen musst, damit die Gleichung nicht aus dem Gleichgewicht kommt.
Schau mal in unsere MatheBank als Hilfe.
Gruß informix
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-5t²+120t=500 :(-5)
[mm] t²-\bruch{120}{5}=-100
[/mm]
t²-24+100=0
t²-24+144-144+100=0
(t-12)²-44=0
S(12;-44)
Soweit richtig?
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> -5t²+120t=500 :(-5)
> [mm]t²-\bruch{120}{5}=-100[/mm]
> t²-24+100=0
> t²-24+144-144+100=0
> (t-12)²-44=0
> S(12;-44)
>
> Soweit richtig?
Nicht ganz!
Es muss lauten:
-5t²+120t=500 :(-5)
[mm] t²-\bruch{120}{5} [/mm] t =-100
t²-24t+100=0
t²-24t+144-144+100=0
(t-12)²-44=0
S(12;-44)
Du hattest das t vergessen. Ansonsten müsste es stimmen!
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Nachdem der Scheitelpunkt jetzt feststeht, wie komme ich an die Sekunden?. Die Zeit war ja gefragt. oder
Wie komme ich an das Wertepaar?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du suchst ja nicht den Scheitel, sondern die Nullstelle, du hast doch [mm] (x-12)^2-44=0
[/mm]
daraus [mm] :(x-12)^2=44
[/mm]
auf beiden Seiten die Wurzel ziehen:
[mm] t-12=\pm\wurzel{44}
[/mm]
damit hast du 2 Werte für die Zeit, wo der Wert 500 ist.
Gruss leduart
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[mm] t-12\pm \wurzel{44} [/mm]
Es muss heißen. Stimmt das?
[mm] t=12\pm \wurzel{44}
[/mm]
t=12+6,63=18,63
t=12-6,63=5,37
Lösung 5,4 s und 18,6 s stimmt also
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, du hast ja "nur" die 12 auf die andere Seite gebracht. Und dann stimmen deine Ergebnisse.
LG
Kroni
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[mm] t-12=\pm\wurzel{44}
[/mm]
[mm] t-12=\pm6,63 [/mm] +12
t=+6,63+12=18,63
t=-6,63+12=5,37
Das ist es!!! Vielen, vielen Dank allen Beteiligten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Blech |
Jetzt mußt Du nur noch die Aufgabenstellung bedenken:
> Nach wie viel Sekunden hat die Kugel eine Höhe von 500 m erreicht?
Welches der beiden Ergebnisse ist also gefragt? =)
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