quadratische Gleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Fr 26.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
| Aufgabe | | wie muss eine quadratische gleichung ax²+ibx+c=0 lauten, damit es eine reelle Lösong gibt? (a,b,c sind reelle zahlen) |
hallo!
zuerst habe ich die lösungsformel für x² angewendet:
[mm] x_{1,2}=\bruch{-bi\pm\wurzel{(bi)^{2}-4ac}}{2a} [/mm] , dann kann man ja sagen [mm] x_{1,2}=\bruch{-bi\pm\wurzel{-b^{2}-4ac}}{2a} [/mm] ; [mm] 2ax+bi=\wurzel{(b^{2}+4ac)*(-1)} \Rightarrow 2ax+bi=\wurzel{b^{2}+4ac}*i
[/mm]
Aber wie finde ich jetzt heraus, wie diese quadratische gleichung lauten muss, damit man eine reelle lösung bekommt ?
könnt ihr mir helfen?
grüße, hermes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
> wie muss eine quadratische gleichung ax²+ibx+c=0 lauten,
> damit es eine reelle Lösong gibt? (a,b,c sind reelle
> zahlen)
> hallo!
> zuerst habe ich die lösungsformel für x² angewendet:
> [mm]x_{1,2}=\bruch{-bi\pm\wurzel{(bi)^{2}-4ac}}{2a}[/mm] , dann kann
> man ja sagen [mm]x_{1,2}=\bruch{-bi\pm\wurzel{-b^{2}-4ac}}{2a}[/mm]
korrekt.
> Aber wie finde ich jetzt heraus, wie diese quadratische
> gleichung lauten muss, damit man eine reelle lösung bekommt
> ?
Betrachte noch einmal die rechte Seite dieser Gleichung. Der Realteil verschwindet offenbar für [mm] $b^2 [/mm] + 4ac [mm] \geq [/mm] 0 $.
Damit eine Lösung in [mm] $\IR$ [/mm] liegen kann, muß sie dann also gleich Null sein.
Wenn du den Zähler gleich Null setzt, bekommst du die entsprechende Bedingung.
Danach betrachte den anderen Fall [mm] $b^2 [/mm] + 4ac < 0$
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Fr 26.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> > zuerst habe ich die lösungsformel für x² angewendet:
> > [mm]x_{1,2}=\bruch{-bi\pm\wurzel{(bi)^{2}-4ac}}{2a}[/mm] , dann kann
> > man ja sagen [mm]x_{1,2}=\bruch{-bi\pm\wurzel{-b^{2}-4ac}}{2a}[/mm]
>
> korrekt.
>
> > Aber wie finde ich jetzt heraus, wie diese quadratische
> > gleichung lauten muss, damit man eine reelle lösung bekommt
> > ?
>
> Betrachte noch einmal die rechte Seite dieser Gleichung.
> Der Realteil verschwindet offenbar.
> Damit eine Lösung in [mm]\IR[/mm] liegen kann, muß sie also gleich
> Null sein.
ich finde es nicht so klar, dass der realteil verschwindet, denn $a = 1, [mm] \, [/mm] b = 0, [mm] \, [/mm] c = -1$ sollte doch eine reelle, von $0$ verschiedene lösung haben. aber eine fallunterscheidung $b = 0$ und $b [mm] \not= [/mm] 0$ führt wohl zum ziel, wenn ich mich gerade nicht täusche, da die wurzel stets rein imaginär und rein reell sein sollte.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Andreas,
du hast recht. Die Fallunterscheidung hatte ich mit [mm] $b^2 [/mm] + 4ac [mm] \geq [/mm] 0$ gemacht und sie dann beim Artikel schlicht vergessen.
(wir setzen $a [mm] \neq [/mm] 0$ voraus.)
1. [mm] $b^2 [/mm] + 4ac [mm] \geq [/mm] 0$
Der Realteil verschwindet und die Bedingung, daß der Zähler Null sein muß, liefert c = 0.
2. [mm] $b^2 [/mm] + 4ac < 0$
Die Wurzel liefert eine positive reelle Zahl und der Zähler kann nur reell werden, wenn b = 0 gilt.
Insgesamt haben wir also
für $b = c = 0$ nur die Lösung $x = 0.$
für $c = 0$ und $b [mm] \neq [/mm] 0$ die Lösungen x = 0 und $x = [mm] -\frac{bi}{a}$
[/mm]
für $b = 0$ und $ac < 0$ die zwei reellen Lösungen $x = [mm] \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$
[/mm]
sonst keine reellen Lösungen.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Fr 26.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
ich hatte die überlegung die bedingung 2a=0 festzulegen, dann hab ich zwar im zähler eine komplexe zahl , aber auch eine komplexe zahl gebrochen durch null ergibt null. 0 [mm] \in \IR [/mm] (z.b. a=-2 ) ist diese lösung zu einfach?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hermes,
Deine Bedingung kann nicht hinhauen, denn eine Zahl durch Null dividiert ergibt nicht Null als Ergebnis, sondern Unendlich.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Fr 26.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
oh, tut mir leid! das hab ich übersehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Fr 26.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
und wenn ich sage: b=0 und -4ac>0 ; wäre das in ordnung! das bi vor der wurzel würde wegfallen+die wurzel hat eine reelle lösung??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Fr 26.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> und wenn ich sage: b=0 und -4ac>0 ; wäre das in ordnung!
> das bi vor der wurzel würde wegfallen+die wurzel hat eine
> reelle lösung??
Das ist ein guter Ansatz. Es muss außerdem [mm]a\not=0[/mm] gelten. Ferner ist [mm]c=0[/mm] ein Sonderfall.
Du brauchst dafür gar nicht mal die Wurzel, sondern kannst es an der quadratischen Gleichung selbst erkennen.
Angenommen, es gibt eine reelle Lösung [mm]x_1[/mm], dann ist natürlich
[mm]a x_1^2+ibx_1 +c = 0[/mm]
Das heisst, dass Real- und Imaginärteil unabhängig voneinander Null sind.
Realteil: [mm]a x_1^2+c=0[/mm]
Imaginärteil: [mm]bx_1=0[/mm].
Aus der letzten Gleichung folgt: [mm]b=0[/mm] oder [mm]x_1=0[/mm].
a) [mm]b=0[/mm]. Hier muss [mm]a\not=0[/mm] sein, sonst gibt es keine Lösung. Für [mm]c=0[/mm] ergibt sich [mm]x_1=0[/mm], für [mm]c\not=0[/mm] müssen a und c entgegengesetzte Vorzeichen haben.
b) [mm]x_1=0[/mm]. Das kann nur sein, wenn [mm]c=0[/mm].
Zusammengefasst: Die Gleichung hat eine reelle Lösung, wenn
entweder [mm]c=0[/mm] ist ([mm]x_1=0[/mm]),
oder [mm]b=0[/mm], [mm]a\not=0[/mm] und [mm]\bruch{c}{a}<0[/mm] ist ([mm]x_1 = \sqrt{-\bruch{c}{a}}[/mm]).
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Fr 26.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
danke für deine antwort!
jetzt kann ich wieder weiterrechnen 
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