quadratische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] a^{2}-7b^{2} [/mm] = 1 hat unendliche viele Lösungen. |
Hallo,
im Rahmen eines Beweises brauche ich die Aussage, dass [mm] a^{2}-7b^{2} [/mm] = 1 unendlich viele Lösungen (a,b) [mm] \in \IZ \times \IZ [/mm] hat. Ich kriege das aber nicht wirklich hin. Mein Startpunkt war folgendes:
[mm] a^{2}-7b^{2} [/mm] = (a - [mm] \wurzel{7}b)(a [/mm] + [mm] \wurzel{7}b) [/mm] = 1
Daraus folgt ja, dass (a - [mm] \wurzel{7}b) [/mm] = 1 und (a + [mm] \wurzel{7}b) [/mm] = 1 sein muss. Stelle ich die erste Gleichung um, komme ich auf a = 1 + [mm] \wurzel{7}b. [/mm] Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich 1 + [mm] \wurzel{7}b [/mm] + [mm] \wurzel{7}b [/mm] = 1 <-> [mm] 2*\wurzel{7}b [/mm] = 0 <-> b = 0 und a = 1. Aber so richtig weiter bringt mich das nicht. Habt ihr vielleicht einen besseren Ansatz?
Danke, Steffen
P.S. Achja, Kongruenzen hatten wir noch nicht, deshalb kann ich es damit nicht beweisen/begründen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Di 20.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast einen Denkfehler:
iat ein Produkt xy = 1, so muß weder x=1 noch y=1 sein.
Bsp: x=2, y=0,5
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Di 20.05.2008 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
aber die Zahlen a,b sollen ja aus [mm] \IZ [/mm] sein. Dann kann das doch nur gleich 1 sein?
Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Di 20.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Das Produkt das Du betrachtest hat doch die Faktoren
x= a+wurzel(7)b und y=a-wurzel(7)b.
Diese Faktoren sind im allg. nicht ganzahlig !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kann es sein, dass du a was beweisen willst was es gar nicht gibt?
hast du ne einzige Lösung ausser a=1
kann es sein, dass du nur auf nem falschen Weg für deinen eigentlichen Beweis bist?
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
also meine eigentliche Aufgabe ist zu beweisen, dass es im quadratischen Zahlbereich [mm] \IZ[\wurzel{7}] [/mm] unendliche viele Einheiten gibt. Mein Idee war nun, die montone Normfunktion für quadratische Zahlbereiche zu betrachten, da für Normfunktionen ganz allgemein gilt, dass N(a) = 1, wenn a in R (R ein Integritätsbereich) eine Einheit ist. Die monotone Normfunktion für quadratische Zahlkörper ist nun |N(a)| = |a*a'| = [mm] |b^{2}-c^{2}m|, [/mm] wobei a' das zu a konjugierte Element ist und a = b + [mm] c\wurzel{m}. [/mm] So komme ich auf meine Gleichung, denn wenn ich zeigen könnte, dass es dafür unendlich viele Lösungen gibt, dann gibt es auch unendlich viele Einheiten.
Vielleicht ist die Idee aber murks. Eine andere habe ich aber ehrlich gesagt nicht. Ihr vielleicht?
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Mi 21.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffen
> also meine eigentliche Aufgabe ist zu beweisen, dass es im
> quadratischen Zahlbereich [mm]\IZ[\wurzel{7}][/mm] unendliche viele
> Einheiten gibt.
Das hatte ich mir schon bei der Frage gedacht, ich hab mich nur gefragt ob ihr das auch so formuliert hattet oder ob ihr schlicht und einfach die Gleichung vorgesetzt bekommen habt.
> Mein Idee war nun, die montone Normfunktion
> für quadratische Zahlbereiche zu betrachten, da für
> Normfunktionen ganz allgemein gilt, dass N(a) = 1, wenn a
> in R (R ein Integritätsbereich) eine Einheit ist. Die
> monotone Normfunktion für quadratische Zahlkörper ist nun
> |N(a)| = |a*a'| = [mm]|b^{2}-c^{2}m|,[/mm] wobei a' das zu a
> konjugierte Element ist und a = b + [mm]c\wurzel{m}.[/mm] So komme
> ich auf meine Gleichung, denn wenn ich zeigen könnte, dass
> es dafür unendlich viele Lösungen gibt, dann gibt es auch
> unendlich viele Einheiten.
Die Loesungen dieser Gleichung sind genau die Einheiten.
Also einmal hast du ja die trivialen Einheiten, naemlich $1 + 0 [mm] \cdot \sqrt{7}$ [/mm] und $-1 + 0 [mm] \cdot \sqrt{7}$. [/mm] Aber die bringen dir nichts.
Wenn du jetzt irgendeine weitere Einheit $e = a + b [mm] \cdot \sqrt{7}$ [/mm] hast, dann sind auch [mm] $e^2$, $e^3$, [/mm] ... Einheiten.
[Es gilt sogar: es gibt eine Einheit $e'$ so, dass jede Einheit von der Form [mm] $\pm (e')^n$ [/mm] ist fuer ein $n [mm] \in \IZ$. [/mm] Eine solche nennt sich Fundamentaleinheit.]
Sprich: du benoetigst eine nicht-triviale Loesung. Eine Moeglichkeit eine solche zu finden ist folgende: probiere $b = 1, 2, 3, ...$ aus und teste jeweils ob du ein $a [mm] \in \IZ$ [/mm] findest damit $N(a + b [mm] \sqrt{7}) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ ist. Das ist bei 7 wohl am effektivsten.
[Du kannst natuerlich auch $a = 1, 2, 3, ...$ durchprobieren; allerdings brauchst du dann laenger, um auf eine Loesung zu kommen, da $a = [mm] \pm \sqrt{1 + 7 b^2}$ [/mm] ist und $b = [mm] \pm \frac{1}{7} \sqrt{1 + a^2}$, [/mm] und [mm] $\sqrt{1 + 7 b^2}$ [/mm] liegt eher in [mm] $\IZ$ [/mm] als [mm] $\frac{1}{7} \sqrt{1 + a^2}$.]
[/mm]
Alternativ kannst du das auch mit Kettenbruchentwicklung von $1 + [mm] \sqrt{7}$ [/mm] machen, falls dir das etwas sagt (Stichwort: Pellsche Gleichung).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:01 Mi 21.05.2008 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Felix,
vielen vielen Dank jetzt weiß ich wie ich vorgehen muss.
Grüße, Steffen
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