matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathe Klassen 8-10quadratische Gleichungen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Mathe Klassen 8-10" - quadratische Gleichungen
quadratische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe Klassen 8-10"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

quadratische Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:53 Fr 28.08.2015
Autor: Valkyrion

Aufgabe
Gleichung:
(2y-8)(y-5)*2 = (2y-8)(2y+8)


Als Lösung soll 4 rauskommen, was ich auch erhalte wenn ich beide Seiten ausmultipliziere.

Wenn ich aber als erstes die Gleichung durch (2y-8) dividiere bzw. dadurch die beiden Klammern (2y-8) wegkürze, erhalte ich keine Lösung, da sich die ys wegrechnen und eine unwahre Aussage übrig bleibt.
Wo ist mein Denkfehler? warum darf ich die Klammern nicht wegkürzen?

        
Bezug
quadratische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:27 Fr 28.08.2015
Autor: DieAcht

Hallo Valkyrion!


> Gleichung:
> (2y-8)(y-5)*2 = (2y-8)(2y+8)
>  
> Als Lösung soll 4 rauskommen, was ich auch erhalte wenn
> ich beide Seiten ausmultipliziere.

Gut, aber es geht auch einfacher. ;-)

> Wenn ich aber als erstes die Gleichung durch (2y-8)
> dividiere bzw. dadurch die beiden Klammern (2y-8)
> wegkürze, erhalte ich keine Lösung, da sich die ys
> wegrechnen und eine unwahre Aussage übrig bleibt.
> Wo ist mein Denkfehler? warum darf ich die Klammern nicht
> wegkürzen?

1. Die "Division" ist nur zulässig, falls wir NICHT durch Null
teilen.

2. Wenn wir also die Gleichung auf beiden Seiten durch [mm] $(2y-8)\$ [/mm]
dividieren, dann NUR für [mm] $2y-8\not=0$, [/mm] also für [mm] $y\not=4$. [/mm] Aus diesem
Grund müssen wir [mm] $y=4\$ [/mm] "extra" behandeln.

Also noch einmal: Gesucht sind alle [mm] y\in\IR [/mm] (falls existent) mit

       $(2y-8)(y-5)*2 = [mm] (2y-8)(2y+8)\$. [/mm]

1. Auf beiden Seiten stehen Produkte. Ein Produkt ist genau dann
   Null, falls mindestens einer der Faktoren Null ist. Auf beiden
   Seiten sehen wir [mm] $(2y-8)\$, [/mm] so dass offensichtlich für [mm] $y=4\$ [/mm] die Gl-
   eichung erfüllt ist.

2. Sei nun [mm] $y\not=4$, [/mm] dann erhalten wir

      $(2y-8)(y-5)*2 = [mm] (2y-8)(2y+8)\$ [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow [/mm] (y-5)*2=2y+8$

      [mm] $\Longleftrightarrow [/mm] (y-5)*2=2*(y+4)$.

   Jetzt sieht man schon leicht, dass wir hier nicht mehr fündig
   werden.

Damit erfüllt nur [mm] $y=4\$ [/mm] die Gleichung.


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
quadratische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:47 Fr 28.08.2015
Autor: rmix22


> Gleichung:
>  (2y-8)(y-5)*2 = (2y-8)(2y+8)
>  
> Als Lösung soll 4 rauskommen, was ich auch erhalte wenn
> ich beide Seiten ausmultipliziere.
>  
> Wenn ich aber als erstes die Gleichung durch (2y-8)
> dividiere bzw. dadurch die beiden Klammern (2y-8)
> wegkürze, erhalte ich keine Lösung, da sich die ys
> wegrechnen und eine unwahre Aussage übrig bleibt.
>  Wo ist mein Denkfehler? warum darf ich die Klammern nicht
> wegkürzen?

Weil du dabei Lösungen verlieren kannst  ("Kürzen" nennt man das übrigens nicht).
Du darfst eine Gleichung beidseits durch einen Ausdruck dividieren, aber nur, wenn sichergestellt ist, dass dieser nicht Null ist.
Wenn der Ausdruck, durch den du dividieren möchtest aber eine Variable enthält, kannst du idR nicht garantieren, dass er nie Null werden kann.
In deinem Fall wird der Ausdruck, durch den du dividierst, für y=4 zu Null und damit hast du durch die Division die einzige Lösung der Gleichung verloren.
Dem Problem kannst du nun auf zwei verschiedene Arten begegnen:
1) durch eine Fallunterscheidung, wie es dir dieAcht gezeigt hat
oder
2) du bringst alle Terme auf eine Seite
     [mm] $(2y-8)\cdot(y-5)\cdot [/mm] 2- [mm] (2y-8)\cdot(2y+8)=0$ [/mm]
und klammerst nun den Ausdruck, durch den du dividieren wolltest, aus
     [mm] $(2y-8)\cdot[(y-5)\cdot2-(2y+8)]=0$ [/mm]
Nun noch ein wenig aufräumen
     [mm] $(2y-8)\cdot(2y-10-2y-8)=0$ [/mm]
     [mm] $(2y-8)\cdot(-18)=0$ [/mm]
Durch (-18) darfst du nun beidseits dividieren, denn das ist ja ungleich Null
     $2y-8=0$
und jetzt ist bis
     $y=4$
nur mehr ein kleiner Schritt.

Gruß RMix


Bezug
                
Bezug
quadratische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 Fr 28.08.2015
Autor: DieAcht

Hallo RMix!


> 2) du bringst alle Terme auf eine Seite
>       [mm](2y-8)\cdot(y-5)\cdot 2- (2y-8)\cdot(2y+8)=0[/mm]
>  und klammerst nun den Ausdruck, durch den du dividieren wolltest, aus
>       [mm](2y-8)\cdot[(y-5)\cdot2-(2y+8)]=0[/mm]

Spätestens hier würde ich wieder mit "Ein Produkt ist genau dann
Null, falls mindestens einer der Faktoren Null ist." argumentie-
ren. Dann folgt daraus sofort [mm] $y=4\$ [/mm] und dann geht es weiter mit

      [mm] $(y-5)\cdot2-(2y+8)=2y-10-2y-8=-18\not=0$. [/mm]


Das ist dann aber wohl Geschmackssache. ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                        
Bezug
quadratische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Fr 28.08.2015
Autor: rmix22

>
> Spätestens hier würde ich wieder mit "Ein Produkt ist  genau dann
>  Null, falls mindestens einer der Faktoren Null ist."  argumentieren.

Ja klar, natürlich. Nur kann man sich das hier zufälligerweise sparen, da der zweite Faktor eine Konstante ist.

> Das ist dann aber wohl Geschmackssache. ;-)

Genau. Wie immer man das auch angeht, es führt auf sehr ähnliche Überlegungen.
Wollte auch nur auf die Alternative ohne (explizite) Fallunterscheidung aufmerksam machen, da ich die Erfahrung gemacht habe, dass Schülern derartige Fallunterscheidungen oft recht suspekt sind, wohingegen sie meist für ein Kochrezept wie "alles auf eine Seite, ausklammern, Produkt-Nullsatz" offener sind.
Ist sicher Geschmackssache und im Produkt-Null-Satz steckt die Fallunterscheidung ja letztlich auch drin.

Gruß RMix




Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe Klassen 8-10"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]