quadratische säule aus Draht < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Do 01.10.2009 | | Autor: | nobodon |
| Aufgabe |
Ein Draht wird zu einer quadratischen Säule geformt, welche 90 cm Kantenlänge insgesamt aufweist. Berechne die einzelne Kantenlängen
a) wenn das Volumen max ist
b) wenn die Oberfläche max ist
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mein frage ist wahrscheinlich etwas verblüffend, da ich die Aufgabe komplett gelöst hab, dennoch hat hier mein Mathelehrer in der lk-klausur die Aufgabe wie alle anderen FALSCH gelöst aus meiner Sicht. Meine Frage ist ob meine Lösung die richtige ist.
(erst mal die "offizielle", die meines Lehrers)
1) [mm] V=a^2 [/mm] * h
2) 90 = 8a * 4h ---> nach h = (90-8a) :4
3 V = [mm] a^2 [/mm] * (90-8a) :4
4) V ableiten und 0 setzen was zur lösung
a= 7.5 führt und (welch ein wunder ) h ebenfalls 7.5 (Würfel-Körper)
so meine Lösung ist aber, dass wenn man ganz ganz ganz genau ließt man hier keinen "eulerschen Weg" findet , d. h. wenn man ein Draht zu einer quadratischen Säule formt, werden manche Wege(Kanten) mehrmals wieder benutzt, damit eine quadratische Säule zustande kommt. Demnach wäre die Aufgabe viel schwieriger:
(es werden die Grundseitenkanten 3mal wieder benutzt)
90 = 8b + 4c
b = a + 3a/8 ; die hohe h hab ich umbenannt in c
diese 3a sind die Seiten die das Draht wieder durchlaufen musst damit man eine quadratische Säule GEFORMT bekommt(d.h eine Seite, Grundseite, ist um dann 3/8 länger)
2) 90 = 8b + 4c
1) V = [mm] b^2 [/mm] * c
3) V = [mm] b^2 [/mm] * ( 90 - 8b) :4
4)V ableiten und 0 setzen
b = 7,5 (sind ja die gleichen Zahlen wie oben)
c = 7,5
Jetzt kommt der Unterschied
b = a (1 + 3/8)
a = 5,4545454545......
h = 5,4545454545......
( da sich h proportional zu a verhält wenn das Volumen maximal werden soll wird h immer den gleichen Wert wie a haben)
So, wer hat Recht?
Ich finde wenn man es genau nimmt habe ich Recht und mein Lehrer unrecht, keiner denkt nämlich daran, dass das Draht nicht einfach zu einer quadratischen Säule geformt werden kann ohne irgendwelche Seiten mehrmals durchlaufen musst.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
mit freundlich Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
einen "Fehler" seh ich hier nicht, weder bei dir noch bei deinem Lehrer, die Aufgabe ist einfach nicht eindeutig gestellt.
Erkläre deinem Lehrer, wie du sie verstanden hast, dann sollte das alles doch kein Problem darstellen.
Dein Lehrer gibt sich halt mit dem vereinfachten Problem zufrieden, du bist realistischer an die Sache rangegangen...... wo ist da das Problem?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Do 01.10.2009 | | Autor: | nobodon |
ein fehler ist es insofern, da man ein draht verformt und nicht zerschneidet würden man es zerschneiden können
wäre eindeutlich
U = 8a + 4h
richtig , aber verformen ist eindeutlich etwas anderes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Do 01.10.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, interessant, interessant, deine Überlegung empfinde ich als richtig, du kannst ja auch den Würfel nicht durchgehend zeichnen, aber wenn du drei Kanten doppelt durchläufst, wird es am Ende kein Würfel mehr, jetzt wird es noch komplizierter, wofür entscheidest du dich, durchläufst du die Grundkante oder Höhe mehrmals, deine Herangehensweise finde ich gut, das als falsch abzustempeln empfinde ich aber deutlich übertrieben, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Do 01.10.2009 | | Autor: | Takeela |
Ich würde deine Antwort nicht als gänzlich falsch betrachten, möchte aber einen Einwand bringen:
Nachdem der Fall, den du hier betrachtest in sich selbst nicht einmal eindeutig ist, wäre intuitiv von einer Vereinfachung auszugehen. Schließlich ist eine Drahtsäule auf mehrere Arten zu formen, sodass man beispielsweise das mehrfache Durchlaufen einer Seite durch Pythagoras ;) also unter Einbindung der Diagonalen, vermeiden kann.
Vermutlich wirst du dich auf eine eher sinnlose Diskussion einlassen. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Do 01.10.2009 | | Autor: | nobodon |
würde ich das tun mit der diagonale stimmt
90 = 8h +4h
immer noch nicht weil wir die diagonale mit einbeziehen müssen,
sinnlos wäre die diskussion nicht, könnte mir evt. eine 1 bringen in der klausur^^. Außerdem realistisch betrachtet, was naturwissenschaften sein sollten, ist die lösung meines lehrers falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Do 01.10.2009 | | Autor: | Takeela |
Aber kuck mal, es wird nach den KantenLÄNGEN gefragt, und nicht, wie oft man eine hiervon durchlaufen muss um das Objekt tatsächlich zu realisieren (und/oder in diesem Zusammenhang nach der Gesamtlänge des benötigten Drahts). Du gehst ja aufs Gymnasium und nicht auf eine Handwerkerschule...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Do 01.10.2009 | | Autor: | nobodon |
schon klar, aber in den naturwissenschaften sollte allles der realität entsprechen.
und richtig ich gehe aufs gymni und nicht auf die handwerkerschule. ich besuche die den l-kurs und gehe dabei realistisch vor und nicht intuitiv von der vereinfachung.
(soll nicht provozierend wirkend)
ich suche immer noch eine lösung des problems
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Do 01.10.2009 | | Autor: | Takeela |
Du solltest jedoch wissen, wenn du schon versuchst, analytisch vorzugehen, dass sich an einer Kantenlänge nichts ändert, wenn man sie beliebig oft durchläuft. ;) Es ändert sich wohl der Gesamtweg, nicht jedoch die Kantenlänge, nach welcher in der Aufgabenstellung explizit gefragt wird. Oder wird dein Schulweg auch immer länger, wenn du ihn mehrmals hin- und zurückgehst? ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Do 01.10.2009 | | Autor: | nobodon |
ändert sich der gesamtweg ändern sich die kantenlängen, ansonsten würden z.b.
kantenlängen = 50
Gesamtweg = 12*50=600
so jetzt ändern wir den gesamtweg, die kanten bleiben gleich
Kantenlänge = 100
Gesamtweg bleibt gleich, also = 600 <--ungleich--> 100*12
und mein schulweg wird länger weil ich mehr strecke zurücklege
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Do 01.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Die Strecke, die du zuruecklegst, wird länger.
Nicht der Weg.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 01.10.2009 | | Autor: | Takeela |
Ich glaube, wir reden hier aneinander vorbei... Ein einfaches Beispiel soll die Konfusion aufdecken:
Angenommen, dein Schulweg beläuft sich einfach auf [mm]x = dein Zuhause - Schule = 5 km[/mm]. Du gehst heute zweimal hin- und zurück, so hast du insgesamt eine Weglänge von [mm]l = 4*x = 4*5 km = 20 km[/mm] zurückgelegt. Morgen gehst du einmal zur Schule und wieder nach Hause, sodass du bei einer Weglänge von [mm]l = 2*x = 2*5 km = 10 km[/mm] liegst. Wie OFT du aber von zu Hause in die Schule und zurück nach Hause gehst, ändert den Strecke [mm]x[/mm] nicht.
Ist das soweit verständlich?
Gut, nun möchtest du einen säulenförmiges Gebilde mit quadratischer Grundfläche aus Draht zusammenbauen, eben so, dass das Volumen maximal ist. Die Formel hierfür hast du ja bereits korrekt angegeben.
Hier nun mein Tipp, um die Aufgabenstellung, wie sie vermutlich gedacht war, zu verstehen: Vergiss den Draht! Die Aufgabenstellung könnte man auch analog so formulieren:
"Welche Seitenlängen [mm]a, b, c[/mm] muss ein säulenförmiger Körper mit quadratischer Grundfläche haben, damit sein Volumen maximal wird?"
Ich glaube hierdurch wird die Aufgabe wohl selbsterklärend... Es ging hier nicht um den Draht, sondern darum, dass man die Parameter korrekt zusammenfügt. Denn, und hier wirf ruhig noch einen Blick auf mein obiges Beispiel, die geforderten Kantenlängen [mm]a, b, c[/mm], die das Volumen maximieren, ändern sich NICHT, wenn du den Draht beliebig oft hin- und herwickelst. [mm]a, b, c[/mm] sind einzig und allein durch
- die Form des Körpers (säulenförmig, mit quadratischer Grundfläche [mm]\rightarrow a = b[/mm]),
- die gesamte Kantenlänge [mm] 4*a + 4*b + 4*c = 8*a + 4*c[/mm] und
- die Forderung, das Volumen des Körpers [mm] V = abc [/mm] zu maximieren
bestimmt.
(Eine andere Situation läge vor, wenn (zusätzlich) nach der benötigten DrahtLÄNGE gefragt worden wäre. Hier müsstest du tatsächlich die Anzahl der Hin- und Herläufe pro Kante berücksichtigen. Dies ist aber laut deiner Aufgabenstellung, wie du sie hier gepostet hast, nicht der Fall!)
So, nun hoffe ich, dass wir die Missverständnisse aufklären können :)
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Do 01.10.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ich habe mir die Aufgabe noch einmal angesehen der Quader (Würfel) hat 90cm Kantenlänge, es ist keine Aussage über die Drahtlänge, die kann also auch 2m sein, somit ist jetzt mein Standpunkt, es ist egal, ob du einige Kanten mehrfach "gehen" mußt, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Do 01.10.2009 | | Autor: | nobodon |
der draht wird verformt also kann man stark annehmen dass das gesamte nachher 90cm sind
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Do 01.10.2009 | | Autor: | nobodon |
hmm danke für die antwort.
ich durchlaufe wie folgt:
alle grundseiten des bodens dann durch die höhe1 zur gegenüberliegende grundseite (Decke) diese durchlaufe ich bis ich wieder am Knotenpunkt der höhe1 bin (ich bin jetzt 9hintereinander durchgelaufen), anschließend laufe ich wieder über die letzte gekommende grundseite (also das 1mal)hoch und dann über h2. dann laufe ich wieder über eine grundseite ( das 2.mal) um zum knotenpunkt h3 zu kommen, anschließen noch mal über eine grundseite (3mal doppelt gelaufen), saodass ich h4 durchlaufen kann.
also grundseiten werden 3mal "zu viel" durchlaufen
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Hallo nobodon,
du hast mit deiner Argumentation sicher recht,
falls der Draht bei der "Verformung" nicht zer-
schnitten und neu zusammengelötet werden
darf. Vermutlich war aber gemeint, dass genau
dies erlaubt (und damit die geometrische Aufgabe
einfacher werden) soll.
Ich gratuliere dir trotzdem dazu, dass du die
Schwäche einer nicht so klar definierten Auf-
gabenstellung aufgespürt hast !
LG Al-Chw.
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> Ein Draht wird zu einer quadratischen Säule geformt,
> welche 90 cm Kantenlänge insgesamt aufweist. Berechne die
> einzelne Kantenlängen
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> a) wenn das Volumen max ist
> b) wenn die Oberfläche max ist
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> mein frage ist wahrscheinlich etwas verblüffend, da ich
> die Aufgabe komplett gelöst hab, dennoch hat hier mein
> Mathelehrer in der lk-klausur die Aufgabe wie alle anderen
> FALSCH gelöst aus meiner Sicht. Meine Frage ist ob meine
> Lösung die richtige ist.
> (erst mal die "offizielle", die meines Lehrers)
>
> 1) [mm]V=a^2[/mm] * h
> 2) 90 = 8a * 4h ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das müsste natürlich heissen: 90=8a+4h !!
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Fr 02.10.2009 | | Autor: | nobodon |
right thx
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