quadratischer Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte P(2/5) und Q(1/1,5).
Der Scheitel liegt auf der Geraden g y=2x+1.
Berechne die Funktionsgleichung. |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe einen A-Wert von -7/2 herausbekommen, und Scheitel =P!
Nur habe ich den Scheitel durch zufall entdeckt(nach Zeichnen), und dann den Symetriepartner zu Q gesucht.
Ich würde aber gerne den korrekten mathematischen Lösungsweg haben, da ich recht interessiert bin in Mathe.
Freundliche Grüße
Chris
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/95125,0.html
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000013449&read=1&kat=Schule
Hab beim ersten Link ne Hilfe bekommen, der mir aber irgendwie nicht geholfen hat.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 So 12.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
bist du sicher das die Geradengleichung stimmt?
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo,
Ja, bin mir sicher
y=2x+1, bzw in diesem Fall kann ich ja schreiben:
c=-2b+1 (oder?)
Freundliche Grüße
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 So 12.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Sorry,
aber die letzte Frage verstehe ich nicht.
Ich habe nur gefragt, weil ich eine Funktionsgleichung berechnet habe, die durch die Punkte geht, aber den Scheitel nicht auf der angegebenen Geraden hat. Ich muss mir nochmal meine Gedanken machen. Bei meiner zweiten Möglichkeit, die ich berechnet habe, habe ich nun raus, das c=y ist. Ich muss nochmal genau überlegen.
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 So 12.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin chris,
nochmal tschuldigung, die frage ist so ziemlich schlech tgestellt. es gibt bestimmt eine ganze menge von funktionen, die die gegebenen kriterien erfüllen.
ich nehme mal an, du meinst bzw. du suchst die parabelgleichung.
insofern ist das vorgehen wie bei der anderen aufgabe auch.
allgemeine parabelgleichung: [mm] f(x)=ax^2 [/mm] +bx +c
a,b, c sind zu bestimmen!
1. punkte einsetzen:
5=4a+2b+c
1,5=a+b+c
eine gleichung fehlt noch...
mithilfe der differenzialrechnung...
steigung im scheitelpunkt ist gleich null.
f'(x)=2ax +b
am scheitelpunkt [mm] x_{s} [/mm] gilt [mm] 0=2a*x_{s}+b
[/mm]
umgeformt: [mm] x_{s}=- \bruch{b}{2a}
[/mm]
da der scheitelpunkt auf der geraden 2x+1 liegen soll gilt für den scheitelpunkt:
[mm] 2x_{s}+1=ax_{s}^2 +bx_{s} [/mm] + c
nun für [mm] x_{s} [/mm] - [mm] \bruch{b}{2a} [/mm] einsetzen und schon hast du die dritte gleichung.
daraus kannst du dann a,b,c bestimmen.
gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo,
jetzt nachdem meine 2 Frage beantwortet wurde, hab ich nochmal konsequent hier weiter gerechnet.
Ich habe mir 3 Gleichungen aufgestellt:
5=4a+2b+c (1)
3/2=a+b+c (2) |*(-4)
c=-2b+2 (3)
=> -6=-4a-4b-4c (2´)
Nun habe ich das a eliminiert, also (1)+(2´)
Ich erhalte dann Gleichung (4)
-3c=2b-1
Dann hab ich (3)+(4) gemacht und mein c erhalten also c=-1/2
Nun weiter eingesetzt und meine allgemeine Gleichung komplettiert.
Als Lösung habe ich folglich erhalten
y=3/4x²+5/4x-1/2
Ich hoffe jemand kann das nachvollziehen, das "niedere" Mathe und mir bestätigen, dass es so stimmt?!
Freundliche Grüße
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Und ganz vergessen, wie komm ich auf den Scheitel? Mit quadratischer Ergänzung ists hier ja recht schwer....
Vorrausgesetzt natürlich es stimmt überhaupt meine Rechnung.....
Ich habe das mal mit oben genannter Formel aus der Sammlung probiert und komm auf die Werte
(-6/5 und 49/38)
Freundliche Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 12.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Chris
> Hallo,
> jetzt nachdem meine 2 Frage beantwortet wurde, hab ich
> nochmal konsequent hier weiter gerechnet.
>
> Ich habe mir 3 Gleichungen aufgestellt:
>
> 5=4a+2b+c (1)
> 3/2=a+b+c (2) |*(-4)
> c=-2b+2 (3)
diese Gleichung ist falsch, weil c und d aus den 2 Gleichungen oben nicht die Koordinaten des Scheitels sind.
[mm] y=ax^2+bx+c=a(x^2+b/a*x+(b/2a)^2)-b^2/(4a)+c
[/mm]
also Scheitelpunkt:(-b/2a, c- [mm] b^2/(4a))
[/mm]
also :c- [mm] b^2/(4a)=-2*b/(2a)+1 [/mm]
müsste deine 3. Gleichung sein.
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo,
stimmt, hab ich falsch gemacht....
Nun gut, wie bist du auf die 3. Gleichung gekommen?Jetzt weiss ich hier gar nicht mehr weiter.... Wir sollen die lösen ohne Ableitungen, Differentialrechnung und ähnlichem. Nur mit einfachen Mitteln.
Weisst Du vielleicht wie ich das hier machen kann?
Freundliche Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 12.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin chris,
geh doch so vor wie in der anderen aufgabe auch.
ich habe (auf anderem Weg als dritte gleichung c=-2b-2 raus).
gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo,
wie bei der anderen?da hatte ich aber die Ordinate des Scheitels, hier nicht. Ich probiers mal trotzdem irgendwie.
Ne kurze Zwischenfrage. Bei dieser Aufgabe sind auch 2 Parabelgleichungen möglich???Einmal mit positivem a und einmal mit negativem?
Freundliche Grüße
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Also egal was ich wie auch rechne, ich glaube ich schaffs nicht....
Wenn jemand mir den genauen Lösungsweg (mit "einfachen"mitteln, Ohne Differentialrechnung und sonstiges) sagen kann, wäre ich dankbar.
Freundliche Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 So 12.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich weiß nicht, ob das genannt wurde, aber der Punkt P(2|5) liegt ja auf dieser Geraden.
Dann kennst du ja den Scheitelpunkt eigentlichs chon und kannst mit Hilfe der Scheitelpunktsform die Gleichung der Parabel bestimmen.
y=a(x-b)²+c
y=a(x-2)²+5
Und dann noch Q einsetzen:
1,5=a(1-2)+5
a=...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo Teufel, dass P auf der Geraden ist, weiss ich, aber ist es sicher, dass es auch der Scheitel ist?
Es kann doch auch nur ein beliebiger Schnittpunkt zwischen Parabel und Geraden sein!
Wenn es der Scheitel wäre, wäre alles einfach.
3 Punkt = Symetriepartner zu Q also (3/1,5).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 So 12.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hast recht ;) aber vielleicht so:
Scheitelpunktsform:
y=a(x-b)²+c
c=2b+1
y=a(x-b)²+2b+1
Dann beide Punkte einmal einsetzen und das lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen lösen. Dann erhälst du noch eine 2. Parabel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hab ich schon durchgerechnet, geht nicht ....Weiß auch nicht warum.
Ich warte jetzt mal ab, wie Wolfgang es erklärt, aber es dauert noch bis alle Formelgrafiken hochgeladen sind 
Freundliche Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 So 12.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Bei mir hat es so hingehauen. Einmal erhälst du für a=-3,5 und S=P
und einmal für a=0,5, b=-2, c=-3 => S(-2|-3).
Vielleicht hast du dich nur irgendwo verrechnet :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hä?Echt?
Kannst Du mir mal einen Weg aufschreiben, wenns dich nicht zuviel Zeit kostet?!
Ich probiers parallel auch nochmal....
Freundliche Grüße
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Also, ich hab die Punkte eingesetzt:
P: 5=a(2-b)² +2b+1
Q: 1,5=a(1-b)²+2b+y
Beide dividiert:
10/3=[(2-b)²+2b+1] / [(1-b)²+2b+1]
Nach ausmultiplizieren und teilen und .....komm ich auf eine Gleichung:
7b²-6b+5=0 |:7
b²-6/7b+5/7=0
Wenn ich das in die p/q-Formel einsetze, wird der Radikant unter der Wurzel negativ.....
Irgendwas wohl falsch *g*
Ich warte mal was du gerade schreibst.....
P.S.: Die Formeln von Wolfgyang zeigt es immer noch nicht an...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 So 12.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Das sieht mir wie ein Divisionsverfahren aus :) davon habe ich ja noch nie etwas gehört. Ich glaube, dass das auch nicht funktioniert. Selbst wenn, dann hätte man noch a und b in der Gleichung!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 12.11.2006 | | Autor: | Teufel |
I)5=a(2-b)²+2b+1
[mm] II)\bruch{3}{2}=a(1-b)²+2b+1
[/mm]
I') [mm] a=\bruch{5-2b-1}{(2-b)²}
[/mm]
[mm] II')a=\bruch{\bruch{3}{2}-2b-1}{(1-b)²}
[/mm]
I'=II'
[mm] \bruch{5-2b-1}{(2-b)²}=\bruch{\bruch{3}{2}-2b-1}{(1-b)²}
[/mm]
Das dann mit (2-b)² und (1-b)² multiplizieren, ausmultiplizieren alles, p-q-Formel... dann sollte das stimmen.
Wenn du bist hierhin auch schon warst, sag mir nochmal bescheid :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
So, hab es auch raus, ich versteh nur nicht, warum ich mit dividieren nicht weitergekommen bin??
Nun gut, hab zwar heute kein Sport gemacht, bin aber noch fertiger.
Aber es hat Spass gemacht *g*
Die Lösung von Wolfgang kann ich leider noch nicht nachvollziehen....
Dauert wohl noch e bissle*g*
Aber trotzdem mal allen vielen Dank für die netten Hilfen
Freundliche Grüße
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 So 12.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
hi chris,
ok. also ohne differenzialrechnung , ohne vorgegebene y-koordinate des scheitelpunktes... schließe mich hier leduart an, der folgendes gepostet hatte:
wie gesagt
1. gleichung 5=4a+2b+c
2. gleichung 1,5=a+b+c
3. gleichung
zunächst ermittlung des scheitelpunktes allgemein:
[mm] ax^2+bx+c= a(x^2 [/mm] + [mm] \bruch{b}{a}x [/mm] + [mm] \bruch{c}{a})
[/mm]
quadratische ergänzung
= [mm] a(x^2 [/mm] + [mm] 2*x*\bruch{b}{2a} [/mm] + [mm] (\bruch{b}{2a})^2 -\bruch{b^2}{4a^2} [/mm] + [mm] \bruch{c}{a})
[/mm]
= a( (x + [mm] \bruch{b}{2a})^2 -\bruch{b^2}{4a}+c [/mm]
scheitelpunktform
[mm] x_{s}= [/mm] - [mm] \bruch{b}{2a}
[/mm]
[mm] y_{s}= -\bruch{b^2}{4a}+c [/mm]
soweit so gut. nun setzt du ein
y=2x+1 soll ja den scheitelpunkt beinhalten, also
[mm] y_{s}=2*x_{s} [/mm] +1
[mm] -\bruch{b^2}{4a}+c [/mm] = 2*(- [mm] \bruch{b}{2a}) [/mm] +1
damit hast du die dritte gleichung...
gruß
wolfgang
|
|
|
|
