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Forum "Zahlentheorie" - quadratischer Rest
quadratischer Rest < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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quadratischer Rest: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mo 11.05.2015
Autor: capri

Hallo, es wäre sehr nett wenn mir jemand beim übersetzen einer Definition plus den Beweis helfen würde.

Ich habe diese Frage auch im onlinemathe forum reingestellt, da kam leider noch keine Antwort.

Definition:
A rational integer a not divisible by p  has a square root in [mm] $\IZ_p [/mm]  (p [mm] \ne [/mm] 2) $
if and only if a is a quadratic residue modulo p.

Proof:
Let [mm] $P(x)=x^2-a$, [/mm] $P'(x)=2x$

if a is a quadratic residue, then  $a [mm] \equiv a_0^2$ [/mm] mod p

for some [mm] $a_0 \in [/mm] (1,2,....,p-1)$. Hence [mm] $P(a_0) \equiv [/mm] $ 0 mod p.
But [mm] $P'(a_0)=2a_0 \not\equiv [/mm] $ 0 mod p,
automatically since [mm] $(a_0,p)=1$, [/mm] so that the solution in [mm] $\IZ_p$ [/mm] exists by Hensel´s Lemma. Conversely, if a is a quadratic nonresidue.

http://www.onlinemathe.de/forum/Quadratischer-Rest-13 auf dieser Homepage kann man es sehen und gleichzeitig ist nochmal ein Foto von der Definition. Auf der Nachhilfeplattform, habe ich versucht anzufangen den Beweis zu übersetzen aber ich denke es ging in die Hose ^^

es wäre nett wenn jmd helfen könnte es ist wirklich dringend :(

LG


        
Bezug
quadratischer Rest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mo 11.05.2015
Autor: felixf

Moin!

> Hallo, es wäre sehr nett wenn mir jemand beim übersetzen
> einer Definition plus den Beweis helfen würde.
>  
> Ich habe diese Frage auch im onlinemathe forum
> reingestellt, da kam leider noch keine Antwort.
>  
> Definition:

Im Original-Text steht Proposition (im Deutschen sagt man meist Satz, wobei ich aber Proposition auch schon ab und ann gesehen hab), nicht Definition. Ist ein kleiner, aber wichtiger Unterschied :)

>  A rational integer a not divisible by p  has a square root
> in [mm]\IZ_p (p \ne 2)[/mm]
>  if and only if a is a quadratic
> residue modulo p.
>
> Proof:
> Let [mm]P(x)=x^2-a[/mm], [mm]P'(x)=2x[/mm]
>  
> if a is a quadratic residue, then  [mm]a \equiv a_0^2[/mm] mod p
>  
> for some [mm]a_0 \in (1,2,....,p-1)[/mm]. Hence [mm]P(a_0) \equiv[/mm] 0 mod
> p.
>  But [mm]P'(a_0)=2a_0 \not\equiv[/mm] 0 mod p,
>  automatically since [mm](a_0,p)=1[/mm], so that the solution in
> [mm]\IZ_p[/mm] exists by Hensel´s Lemma. Conversely, if a is a
> quadratic nonresidue.
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Quadratischer-Rest-13 auf
> dieser Homepage kann man es sehen und gleichzeitig ist
> nochmal ein Foto von der Definition. Auf der
> Nachhilfeplattform, habe ich versucht anzufangen den Beweis
> zu übersetzen aber ich denke es ging in die Hose ^^

Es wär sicher hilfreich gewesen, wenn du deinen Anfang hier direkt mit reinkopiert hättest. Ich kopier mal den Text rüber:

> Sei P(x)=x2-a, Pʹ(x)=2x

Beim Komma würde ich sowas wie ", dann ist" schreiben. Das liest sich besser.

> a ist ein quadratischer Rest, wenn gilt a≡ a02 mod p
> für a0∈1,2,....,p-1

Hier solltest du einen neuen Satz anfangen.

> daraus folgt P(a0)≡0 mod p.

Ok.

> Aber Pʹ(a0)=2a0 nicht ≡0 mod p,

"ist nicht" anstelle "nicht" hört sich schonmal besser an.

> automatisch weil (a0,p)=1,

lass das "automatisch" weg, und schreibe [mm] $ggT(a_0, [/mm] p) = 1$ anstelle [mm] $(a_0, [/mm] p) = 1$ (es sei denn ihr verwendet auch diese Notation).

>  also folgt daraus, dass eine Lösung in Zp mit dem Hensels Lemma existiert.

Fang doch einen neuen Satz an. Bandwurmsätze sind weder im Englischen noch im Deutschen richtig schön.

Und "mit dem Lemma von Hensel" ist auch besser.

Allgemeiner Tipp: versuch es so zu schreiben, dass man das als deutschen Satz lesen kann und es sich nicht kaputt anhört. Das macht das Ergebnis schon gleich viel besser :)

LG Felix


Bezug
                
Bezug
quadratischer Rest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Di 12.05.2015
Autor: capri

Ok Danke.
Eine Frage was ist ein rational  integer. Integer ist doch eine ganze  Zahl  oder nicht.
Rational?

Bezug
                        
Bezug
quadratischer Rest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Di 12.05.2015
Autor: fred97


> Ok Danke.
> Eine Frage was ist ein rational  integer. Integer ist doch
> eine ganze  Zahl  oder nicht.

Ja


> Rational?  

Das schreibt man in der englischen Literatur oft zur Unterscheidung. Es gibt noch andere "integers" : cyclotomic integers, Eisenstein integers, Gaussian integers, and Hamiltonian integers ...

FRED


Bezug
                                
Bezug
quadratischer Rest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Di 12.05.2015
Autor: felixf

Moin,

> > Ok Danke.
> > Eine Frage was ist ein rational  integer. Integer ist doch
> > eine ganze  Zahl  oder nicht.
>
> Ja
>  
>
> > Rational?  
>
> Das schreibt man in der englischen Literatur oft zur
> Unterscheidung. Es gibt noch andere "integers" : cyclotomic
> integers, Eisenstein integers, Gaussian integers, and
> Hamiltonian integers ...

weitere Infos und Beispiele findet man z.B. []hier. Und noch eine Bemerkung: die Menge der algebraic integers, die in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt, ist genau [mm] $\IZ$. [/mm] Deswegen rational integers. Ansonsten hätte man auch classic integers oder so sagen können :-)

LG Felix


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