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| Aufgabe | | Finden Sie die Bedingungen an eine Primzahl p, sodass a ein quadratischer Rest mpdulo p ist für a=2,3,4 und 6. |
Hallöchen.
Eigentlich ist die Aufgabe ja echt nicht schwer. Ich wollte auch nur mal fragen, ob das, was ich gemact habe soweit richtig its, bevor ich den Rest mache und am Anfang schon Fehler habe.
Also:
a=2:
=> [mm] (\bruch{2}{p})= (-1)^{\bruch{p^2-1}{8}}
[/mm]
Diese Bedingung haben wir in der Vorlesung gehabt.
a=4:
=> [mm] (\bruch{4}{p})=(\bruch{2}{p})*(\bruch{2}{p})
[/mm]
= [mm] (-1)^{\bruch{p^2-1}{8}}*(-1)^{\bruch{p^2-1}{8}}
[/mm]
[mm] =(-1)^{\bruch{p^2-1}{8}+\bruch{p^2-1}{8}}
[/mm]
[mm] =(-1)^{\bruch{2*p^2-2}{8}}
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen Weg oder total auf dem Holzweg?
Hoffe es versteht einer, was ich gemacht habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mo 29.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> Finden Sie die Bedingungen an eine Primzahl p, sodass a ein
> quadratischer Rest modulo p ist für a=2,3,4 und 6.
> Hallöchen.
> Eigentlich ist die Aufgabe ja echt nicht schwer. Ich
> wollte auch nur mal fragen, ob das, was ich gemact habe
> soweit richtig its, bevor ich den Rest mache und am Anfang
> schon Fehler habe.
> Also:
> a=2:
> => [mm](\bruch{2}{p})= (-1)^{\bruch{p^2-1}{8}}[/mm]
> Diese
> Bedingung haben wir in der Vorlesung gehabt.
> a=4:
> => [mm](\bruch{4}{p})=(\bruch{2}{p})*(\bruch{2}{p})[/mm]
> = [mm](-1)^{\bruch{p^2-1}{8}}*(-1)^{\bruch{p^2-1}{8}}[/mm]
> [mm]=(-1)^{\bruch{p^2-1}{8}+\bruch{p^2-1}{8}}[/mm]
> [mm]=(-1)^{\bruch{2*p^2-2}{8}}[/mm]
> Bin ich auf dem richtigen Weg oder total auf dem Holzweg?
Du wendest zwar die richtigen Sätze bzw. Formeln an, aber es ist doch eine Bedingung an p gesucht, also muß da als Antwort etwas über p stehen (z. B. p muß schwarz sein  , naja etwas Mathematisches halt). Am einfachsten ist das bei a=4, warum wohl?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Unser Ttor meinte nur, das wir bei 2 die Bedingung aus der Vorlesung einfach hinschreiben können.
Bei 4 wird es wohl am einfachsten sein, weil es [mm] 2^2 [/mm] ist, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Di 30.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Unser Tutor meinte nur, das wir bei 2 die Bedingung aus der
> Vorlesung einfach hinschreiben können.
Da bin ich anderer Meinung! Du mußt ja klären, für welche p [mm] (\bruch{2}{p}) [/mm] = 1 ist, und das hängt von der Restklasse von p mod 8 ab. Probier es einfach mal durch.
> Bei 4 wird es wohl am einfachsten sein, weil es [mm]2^2[/mm] ist,
> oder?
Allerdings, 4 ist immer ein quadratischer Rest, weil es einfach ein Quadrat ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Blefix |
Wenn ich das richtig verstehe, muss das p also so gewählt bzw. definiert werden, dass [mm] (\bruch{4}{p})=(-1)^{\bruch{2*p^2-2}{8}}*(-1)^{\bruch{2*p^2-2}{8}}=1 [/mm] ist.
Bei 4 wäre es dann egal, was p ist.
Denn selbst wenn [mm] (-1)^{\bruch{2*p^2-2}{8}} [/mm] = (-1) ergeben würde bei einem p, würde es 1 werden, denn (-1)*(-1)=1
Das ist jetzt etwas blöd formuliert, aber im Prinzip richtig, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Di 30.01.2007 | | Autor: | statler |
Moin!
> Wenn ich das richtig verstehe, muss das p also so gewählt
> bzw. definiert werden, dass
> [mm](\bruch{4}{p})=(-1)^{\bruch{2*p^2-2}{8}}*(-1)^{\bruch{2*p^2-2}{8}}=1[/mm]
> ist.
Müßte das nicht
[mm](\bruch{4}{p})=(-1)^{\bruch{p^{2}-1}{8}}*(-1)^{\bruch{p^{2}-1}{8}}=1[/mm]
heißen?
> Bei 4 wäre es dann egal, was p ist.
Ja, weil [mm] (\bruch{4}{p}) [/mm] = [mm] (\bruch{2}{p})*(\bruch{2}{p}) [/mm] ist, und das ist immer 1.
> Denn selbst wenn [mm](-1)^{\bruch{2*p^2-2}{8}}[/mm] = (-1) ergeben
> würde bei einem p, würde es 1 werden, denn (-1)*(-1)=1
>
> Das ist jetzt etwas blöd formuliert, aber im Prinzip
> richtig, oder?
Naja, Quadrate sind eben quadratische Reste, aus der Gleichung [mm] 2\*2 [/mm] = 4 wird eben modulo jeder Zahl eine korrekte Kongruenz.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Di 30.01.2007 | | Autor: | Blefix |
Guten Morgen,
> Müßte das nicht
> [mm](\bruch{4}{p})=(-1)^{\bruch{p^{2}-1}{8}}*(-1)^{\bruch{p^{2}-1}{8}}=1[/mm]
> heißen?
Hast natürlich recht, hab die falsche Formel zitiert. Aber das ändert ja Gott sei Dank nichts an der Bedingung für a=4.
Hab gleich heute Morgen weiter gegrübelt und hab noch folgendes heraus bekommen:
Für a=3
Bed.: [mm] P\ge3
[/mm]
Ich kann den Audruck ja dann umdrehen. Also: [mm] (\bruch{3}{p})=(\bruch{p}{3}) [/mm] Dann ergibt sich für jede Primzahl entweder [mm] (\bruch{1}{3})=+1 [/mm] oder [mm] (\bruch{2}{3})=-1
[/mm]
Für a=3 muss also gelten p mod 3 =1
Ich bin mir nicht ganz sicher ob das reicht. Ich kenne noch die Eigenschaft:
[mm] (\bruch{q}{p})=\begin{cases}\bruch{p}{q}, & sonst \\ -(\bruch{p}{q}), & \mbox{für } \mbox{p und q=3 (4)} \end{cases}
[/mm]
Das heißt für bestimmte p würde doch wieder -1 heraus kommen, weil beim Umdrehen ein - davor geschrieben wird. Andersrum könnte bei manchen p für die gilt p mod 3=2 wieder +1 herauskommen duch die Multiplikation von (-1)*(-1)=+1
Kannst du mir die Eigenschaft vielleicht kurz erklären, damit ich sie einbauen kann?
Für a=6 müsste die Bedingung an p folgenderweise lauten:
[mm] (\bruch{6}{p})=(\bruch{3}{p})*(\bruch{2}{p})
[/mm]
p muss also so gewählt werden, dass entweder die Bedingungen für p, von a=2 und a=3 zusammen gellten, oder beide müssen (-1) ergeben, damit es wieder positiv wird.
Leider bereitet mir die Bedingung für a=2 noch Kopfzerbrechen, denn da sehe ich noch kein System.
Muss da noch ein wenig grübeln.
Das wars jetzt erst einmal, hoffe du konntest releativ durchblicken.
LG Blefix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Di 30.01.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Für a=3
>
> Bed.: [mm]p\ge3[/mm]
>
> Ich kann den Audruck ja dann umdrehen. Also:
> [mm](\bruch{3}{p})=(\bruch{p}{3})[/mm] Dann ergibt sich für jede
> Primzahl entweder [mm](\bruch{1}{3})=+1[/mm] oder [mm](\bruch{2}{3})=-1[/mm]
>
> Für a=3 muss also gelten p mod 3 =1
Das kann nicht stimmen, weil z. B. 3 kein quadratischer Rest mod 7 ist. 'Umdrehen' kannst du, wenn p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 ist. Und [mm] (\bruch{p}{3}) [/mm] = 1 gilt, wenn p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 ist. Wenn beides zugleich gilt, ist 3 quadratischer Rest.
Wenn p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 ist, ändert sich beim Umdrehen das Vorzeichen (nach dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz). Also muß dann [mm] (\bruch{p}{3}) [/mm] = -1 sein, d. h. p [mm] \equiv [/mm] 2 mod 3. Wenn wieder beides zugleich gilt, ist 3 quadratischer Rest.
In beiden Fällen kannst du die Bedingungen an p in einer Kongruenzbedingung mod 12 zusammenfassen (nach dem Chinesischen Restsatz).
Wenn du das gemacht hast, können wir den nächsten Fall angreifen.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Di 30.01.2007 | | Autor: | Blefix |
> Das kann nicht stimmen, weil z. B. 3 kein quadratischer
> Rest mod 7 ist.
Ach ja, da kommt das mit dem p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 zu trage.
>'Umdrehen' kannst du, wenn p [mm]\equiv[/mm] 1 mod 4
> ist. Und [mm](\bruch{p}{3})[/mm] = 1 gilt, wenn p [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3
> ist. Wenn beides zugleich gilt, ist 3 quadratischer Rest.
Die zweite Bedingung ist mir klar. Ich versteh nur nicht ganz wozu ich mod 4 brauche.
> Wenn p [mm]\equiv[/mm] 3 mod 4 ist, ändert sich beim Umdrehen das
> Vorzeichen (nach dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz).
> Also muß dann [mm](\bruch{p}{3})[/mm] = -1 sein, d. h. p [mm]\equiv[/mm] 2
> mod 3. Wenn wieder beides zugleich gilt, ist 3
> quadratischer Rest.
Ok, hab ich verstanden.
> In beiden Fällen kannst du die Bedingungen an p in einer
> Kongruenzbedingung mod 12 zusammenfassen (nach dem
> Chinesischen Restsatz).
Der Chinesische Restsatz sagt mir nicht viel.
Ich schlag den jetzt erstmal nach und meld mich wieder.
Vielen Dank erstmal.
Blefix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Di 30.01.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Das kann nicht stimmen, weil z. B. 3 kein quadratischer
> > Rest mod 7 ist.
>
> Ach ja, da kommt das mit dem p [mm]\equiv[/mm] 3 mod 4 zu trage.
>
> >'Umdrehen' kannst du, wenn p [mm]\equiv[/mm] 1 mod 4
> > ist. Und [mm](\bruch{p}{3})[/mm] = 1 gilt, wenn p [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3
> > ist. Wenn beides zugleich gilt, ist 3 quadratischer Rest.
>
> Die zweite Bedingung ist mir klar. Ich versteh nur nicht
> ganz wozu ich mod 4 brauche.
Mod 4 brauchst du, weil 3 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 ist und das Verhalten beim 'Umdrehen' von der Restklasse von p mod 4 abhängt.
> > Wenn p [mm]\equiv[/mm] 3 mod 4 ist, ändert sich beim Umdrehen das
> > Vorzeichen (nach dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz).
> > Also muß dann [mm](\bruch{p}{3})[/mm] = -1 sein, d. h. p [mm]\equiv[/mm] 2
> > mod 3. Wenn wieder beides zugleich gilt, ist 3
> > quadratischer Rest.
>
> Ok, hab ich verstanden.
>
> > In beiden Fällen kannst du die Bedingungen an p in einer
> > Kongruenzbedingung mod 12 zusammenfassen (nach dem
> > Chinesischen Restsatz).
>
> Der Chinesische Restsatz sagt mir nicht viel.
> Ich schlag den jetzt erstmal nach und meld mich wieder.
Da geht es um das Lösen von simultanen Kongruenzen...
Gruß
Dieter
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