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Hallo,
wie zeigt man, dass zu jeder komplexen Zahl a+ib [mm] \in \IC [/mm] eine Zahl [mm] z\in \IC [/mm] mit [mm] z^2 [/mm] =a+ib existiert ?
Weiss nicht so wirklich was ich hier machen kann und habe mal angefangen rumzurechnen und [mm] (u+iy)^2=a+ib [/mm] zu lösen mit z=u+iy,
[mm] (u+iy)^2=u^2-y^2+2uyi=a+ib [/mm] , man hat ein Gleichungssystem
[mm] u^2-y^2=a [/mm] und 2uy=b. Aber das bringt es ja auch nicht oder (außerdem müsste man noch weiterrechnen, weiss aber grad nicht wie ^^)?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
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Hallo Schachtel5,
> Hallo,
> wie zeigt man, dass zu jeder komplexen Zahl a+ib [mm]\in \IC[/mm]
> eine Zahl [mm]z\in \IC[/mm] mit [mm]z^2[/mm] =a+ib existiert ?
> Weiss nicht so wirklich was ich hier machen kann und habe
> mal angefangen rumzurechnen und [mm](u+iy)^2=a+ib[/mm] zu lösen mit
> z=u+iy,
> [mm](u+iy)^2=u^2-y^2+2uyi=a+ib[/mm] , man hat ein Gleichungssystem
> [mm]u^2-y^2=a[/mm] und 2uy=b. Aber das bringt es ja auch nicht oder
> (außerdem müsste man noch weiterrechnen, weiss aber grad
> nicht wie ^^)?
Löse die Gleichung [mm]2uy=b[/mm] nach einer Variablen auf.
Und ersetze diese Variable in der Gleichung
[mm]u^{2}-y^{2}=b[/mm]
Es entsteht dann eine biquadratische Gleichung,
die auch reelle Lösungen haben sollte.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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Okay, komme dann wieder nicht weiter .. also habe [mm] u^2-y^2+2uyi=a+ib
[/mm]
[mm] u^2-y^2=a [/mm] und 2uy=b; u [mm] \not=0 [/mm] , [mm] y=\frac{b}{2u} [/mm] eingesetzt und bekomme für [mm] u^2-\frac{b^2}{4u^2}-a=0 [/mm] raus
[mm] u^4-au^2-\frac{1}{4}b^2=0, [/mm] setze dann [mm] t=u^2 [/mm] und rechne mit der pq-formel [mm] t__{\text{1,2}} [/mm] = [mm] \frac{a}{2}+/- \frac{1}{2}*\wurzel{a^2+b^2} [/mm]
Was kann man denn dann machen?
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Hallo Schachtel5,
> Okay, komme dann wieder nicht weiter .. also habe
> [mm]u^2-y^2+2uyi=a+ib[/mm]
> [mm]u^2-y^2=a[/mm] und 2uy=b; u [mm]\not=0[/mm] , [mm]y=\frac{b}{2u}[/mm] eingesetzt
> und bekomme für [mm]u^2-\frac{b^2}{4u^2}-a=0[/mm] raus
> [mm]u^4-au^2-\frac{1}{4}b^2=0,[/mm] setze dann [mm]t=u^2[/mm] und rechne mit
> der pq-formel [mm]t__{\text{1,2}}[/mm] = [mm]\frac{a}{2}+/- \frac{1}{2}*\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
> Was kann man denn dann machen?
>
Bestimme jetzt die Lösungen der biquadratischen GLeichung,
indem Du die Substitution rückgängig machst.
Zu zeigen ist, daß diese Gleichung reelle Lösungen besitzt.
Damit hast Du dann gezeigt, daß es mindestens eine
komplexe Zahl z gibt, für die
[mm]z^{2}=a+i*b[/mm]
gilt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Do 12.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> Zu zeigen ist, daß diese Gleichung reelle Lösungen
> besitzt.
> Damit hast Du dann gezeigt, daß es mindestens eine
> komplexe Zahl z gibt, für die
>
> [mm]z^{2}=a+i*b[/mm]
>
> gilt.
Unterwegs wurde [mm] $u\not=0$ [/mm] vorausgesetzt. Also bist du nur fertig im Falle, dass du eine Lösung für $u$, die [mm] $\not=0$ [/mm] ist, herausbekommst. Der andere Fall ist gesondert zu betrachten.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 12.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Kürzerer Weg:
$a+ib$ besitzt bekanntlich eine Darstellung der Form [mm] $r\cdot e^{i\varphi}$ [/mm] mit [mm] $r\in\IR_{\ge0}$ [/mm] und [mm] $\varphi\in\IR$.
[/mm]
Gesucht ist ein [mm] $z=r'\cdot e^{i\varphi'}\in\IC$ [/mm] mit [mm] $z^2=r\cdot e^{i\varphi}$.
[/mm]
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hi, danke euch
bei dem ersten bin ich mit [mm] u_{\text{1,2}}=+/- \wurzel{\frac{a}{2}+/- \frac{1}{2}\cdot{}\wurzel{a^2+b^2}} [/mm] überfordert, also was kann man denn daran ablesen?( den Fall u=0 werde ich später gesondert betrachten)
Meinst du so mit Polarkoordinaten [mm] r^2(cos(2t)+isin(2t))=a+ib?
[/mm]
Hätte dann r^2cos(2t)=a , also [mm] \frac{1}{2}arccos(\frac{a}{r^2})=t
[/mm]
und [mm] \frac{1}{2}arcsin(\frac{b}{r^2})=t
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Fr 13.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> bei dem ersten bin ich mit [mm]u_{\text{1,2}}=+/- \wurzel{\frac{a}{2}+/- \frac{1}{2}\cdot{}\wurzel{a^2+b^2}}[/mm]
> überfordert, also was kann man denn daran ablesen?
Du hast also herausbekommen, dass
(*) [mm] $(u+iy)^2=a+ib$
[/mm]
im Falle [mm] $u\not=0$ [/mm] äquivalent ist zu
(**) [mm] $u=\pm\wurzel{\frac{a}{2}\pm\frac{1}{2}\cdot{}\wurzel{a^2+b^2}}$ [/mm] und [mm] $y=\bruch{b}{2u}$.
[/mm]
Die uns interessierende Frage ist: Gibt es für alle [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] eine Lösung [mm] $u,y\in\IR$ [/mm] von (*).
Für gegebene [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] genügt es also, sich zu überlegen, dass (**) eine Lösung für $u$ und $y$ (mit [mm] $u\not=0$) [/mm] hat.
Für Letzteres genügt es, sich zu überlegen, dass bei geeigneter Wahl von + oder - für [mm] $\pm$ [/mm] unter den Wurzeln nur nichtnegative Werte stehen und [mm] $u\not=0$ [/mm] herauskommt.
> Meinst du so mit Polarkoordinaten
> [mm]r^2(cos(2t)+isin(2t))=a+ib?[/mm]
> Hätte dann r^2cos(2t)=a , also
> [mm]\frac{1}{2}arccos(\frac{a}{r^2})=t[/mm]
> und [mm]\frac{1}{2}arcsin(\frac{b}{r^2})=t[/mm]
Nein, viel zu kompliziert gedacht.
Ich schrieb:
> $a+ib$ besitzt bekanntlich eine Darstellung der
> Form [mm] $r\cdot e^{i\varphi}$ [/mm] mit [mm] $r\in\IR_{\ge0}$ [/mm] und [mm] $\varphi\in\IR$. [/mm]
>
> Gesucht ist ein [mm] $z=r'\cdot e^{i\varphi'}\in\IC$ [/mm] mit [mm] $z^2=r\cdot e^{i\varphi}$.
[/mm]
Gesucht sind also [mm] $r',\varphi'\in\IR$ [/mm] mit
[mm] $(r'\cdot e^{i\varphi'})^2=r\cdot e^{i\varphi}$.
[/mm]
Wegen
[mm] $(r'\cdot e^{i\varphi'})^2=r'^2\cdot e^{i\varphi'}\cdot e^{i\varphi'}=r'^2\cdot e^{i\varphi'+i\varphi'}=r'^2\cdot e^{i(2\varphi')}$
[/mm]
leisten [mm] $r'=\wurzel{r}$ [/mm] und [mm] $\varphi'=\bruch\varphi2$ [/mm] das Gewünschte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Fr 13.04.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Achso, vielen Dank! Dann weiss ich jetzt, hab gestern ein wenig dabei den Überblick verloren. Danke!
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