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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:20 Di 10.06.2008 | | Autor: | vicca |
| Aufgabe | berechnen sie den qoutienten y/x von der dezimalstelle y=0,periode63 und x=0,9periode 3
indem sie die dezimalstellen als qoutienten von natürlichen zahlen angeben |
hi.
also für x ist das ja einfach, weil der periodenstrich nur über der 3 steht und man da noch in zehner und hunderter aufteilen kann hinterm komma. habe da 2/15 raus.
aber wie mache ich das für y wo doch der gesamte nachkommabereich periodisch ist?
da kann ich ja nicht sagen:
0,periode63= 0,6+0,03+......
aber wenn ich schreibe = 0 geht die rechnung auch nicht auf.
hat jemand einen tipp?
das wäre nett.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Di 10.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
ich weiß nicht, wie du das bei x gemacht hast, aber man kann y=0,63636363... schreiben als [mm] y=\summe_{n}^{}0,63*(\bruch{1}{100})^{n-1}, [/mm] also die Summe der Folgeglieder von [mm] a_n=0,63*(\bruch{1}{100})^{n-1}. [/mm] Weiß du, wie du die Summe berechnen kannst?
Ansonsten: Probiere ein paar Brüche durch mit 1 im Zähler. [mm] \bruch{1}{9}, \bruch{1}{10}, \bruch{1}{11}, [/mm] ...
Und [mm] \bruch{1}{11} [/mm] sieht mit viel Fantasie schon so aus wie dein y. Musst nur noch den Zähler ändern und dann hast du's auch.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:16 Di 10.06.2008 | | Autor: | vicca |
Hi,dankeschön!
also wie ich die summe anhand deiner aufstellung berechnen kann weiß ich nicht so ganz.
habe meinen x-wert rausbekommen folgendermaßen:
0,9periode3=
0,9+0,03+0,003...=0,1+S
a=0,03
q=0,1
S=0,03*1/(1-0.1)=3/90=1/30
daher gilt:
0,9periode3= 0,1+1/30=2/15
so soll ich das für y auchmachen, aber irgendwie weiß ich nicht wie.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:30 Di 10.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Wenn x=0,93333.... ist, stimmen die [mm] \bruch{2}{15} [/mm] nicht ganz! Bist vielleicht selber durcheinander gekommen, berechnest hast du 0,133333... statt 0,93333..., aber dann musst du ja nur die 0,1 durch die 0,9 ersetzen.
Und bei der 0,6363636363... ist das auch so ähnlich!
[mm] a_n=0,63*0,01^{n-1}
[/mm]
[mm] a_1=0,63
[/mm]
q=0,01
[mm] S_n=\limes_{n\rightarrow\infty}0,63\bruch{1-0,01^n}{1-0,01}=...
[/mm]
Teufel
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> Wenn x=0,93333.... ist, stimmen die [mm]\bruch{2}{15}[/mm] nicht
> ganz! Bist vielleicht selber durcheinander gekommen,
> berechnest hast du 0,133333... statt 0,93333..., aber dann
> musst du ja nur die 0,1 durch die 0,9 ersetzen.
>
> Und bei der 0,6363636363... ist das auch so ähnlich!
>
> [mm]a_n=0,63*0,01^{n-1}[/mm]
>
> [mm]a_1=0,63[/mm]
> q=0,01
>
> [mm]S_n=\limes_{n\rightarrow\infty}0,63\bruch{1-0,01^n}{1-0,01}=...[/mm]
Es gibt einen elementaren Weg periodische Dezimalbrüche in Brüche ganzer Zahlen umzuwandeln, der nicht auf Grenzwertbetrachtungen angewiesen ist: man bildet einfach die Differenz zweier geeigneter Vielfacher der fraglichen Dezimalzahl so, dass die Periode aus der Differenz herausfällt. Für [mm] $0.\overline{63}$ [/mm] also etwa so:
[mm]\begin{array}{lcll}
10^2\cdot 0.\overline{63}-0.\overline{63} &=& 63 &\quad\Big|\text{$0.\overline{63}$ ausklammern}\\
99 \cdot 0.\overline{63} &=& 63 &\quad\Big| \div 99\\
0.\overline{63} &=& \frac{63}{99}=\frac{7}{11}
\end{array}[/mm]
Dies funktioniert auch bestens bei Dezimalbrüchen, die eine "Vorperiode" besitzen: man kann ja die Vorperiode, mittels Multiplikation mit einer geeigneten Potenz von $10$, ebenfalls vor den Dezimalpunkt ziehen. Für [mm] $2.10\overline{714285}$ [/mm] also etwa so:
[mm]\begin{array}{lcll}
10^8\cdot 2.10\overline{714285}-10^2\cdot 2.10\overline{714285} &=& 210714075\\
99999900\cdot 2.10\overline{714285}&=&210714075 &\quad \Big| \div 99999900\\
2.10\overline{714285} &=& \frac{210714075}{99999900} = \frac{59}{28}
\end{array}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Di 10.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Auch interessant, danke dir :)
Obwohl du am Ende des 1. Beispiels falsch gekürzt hast, aber passiert halt.
[mm] \bruch{63}{99}=\bruch{7}{11} [/mm] dann.
Teufel
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