quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 28.12.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | beweise folgende version des quotientenkriteriums: sei [mm] (a_n) [/mm] eine folge positiver reeller zahlen mit [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}\le [/mm] q<1 f.a. n [mm] \in \IN. [/mm] Zeige: [mm] \summe a_n [/mm] konvergiert. |
hallo!
wegen q<1 dachte ich an geometrische reihen....ich nehme mir die vor. [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}\le [/mm] q und potenziere mit n, erhalte also
( [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n})^n\le q^n. [/mm] nun weiß ich ja, dass [mm] \summe q^n [/mm] für q<1 konvergiert. nun könnte ich die geom.r. als majorante benutzen, da erhalte ich dann die kvg für [mm] \summe (\bruch{a_{n+1}}{a_n})^n.
[/mm]
doch wie komme ich dann darauf, dass [mm] \summe a_n [/mm] konvergiert? oder ist meine bisherige überlegung völlig nutzlos??
vielen dank für eure hilfe!
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Du kannst in der Tat die geometrische Reihe als Majorante benutzen, aber die Herleitung geht wohl nicht so Knall auf Fall (oder ich sehs grad wieder nicht...)
Sei die geometrische Reihe [mm] b_n=b_0*q^{n} [/mm] gegeben, und [mm] a_0=b_0.
[/mm]
Nun kannst Du per Induktion zeigen, dass [mm] a_n\le b_n.
[/mm]
Dann ist auch [mm] \summe a_n\le \summe b_n [/mm] und also konvergent.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo gigi,
da hat reverend schon den richtigen Riecher.
Hier habe ich den Beweis für das Quotientenkriterium zufälligerweise gerade erst abgetippt.
Vielleicht hilft dir das ja weiter. 
Gruß, Maraq
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