r und h eines Zylinders aus V < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 So 27.06.2010 | | Autor: | Xnyzer |
| Aufgabe | | Bestimme den Radius und die Höhe eines Zylinders mit vorgegebenem Volumen und minimaler Oberfläche. |
Wir haben zur Zeit Funktionen mit mehreren Variablen.
Ich habe begonnen indem ich Volumen und Oberfläche aufgestellt habe:
V = [mm] \pi r^{2} [/mm] * h
O = 2 [mm] \pi r^{2} [/mm] + h*2 * [mm] \pi [/mm] r
Nun habe ich mir gedacht, dass die Oberfläche die Nebenbedingung darstellt. Ist das richtig?
Weiterhin habe ich angenommen, dass ich die Ableitung der Oberfläche Null setzen muss, um die Extremstelle herauszufinden.
Das ergibt logischerweise r=0 und h=0. Damit komme ich ja nicht weiter.
Nächste Idee war Lagrange.
Ist Lagrange der richtige Weg? Wie baue ich dann ein, dass die Oberfläche Minimal sein muss?
Ansonsten habe ich noch darüber nachgedacht, dass ich die Volumen-Funktion Umstellen muss, sodass sie nicht mehr von r und h abhängig ist, sondern von V...
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Ich wäre sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 So 27.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimme den Radius und die Höhe eines Zylinders mit
> vorgegebenem Volumen und minimaler Oberfläche.
> Wir haben zur Zeit Funktionen mit mehreren Variablen.
>
> Ich habe begonnen indem ich Volumen und Oberfläche
> aufgestellt habe:
>
> V = [mm]\pi r^{2}[/mm] * h
> O = 2 [mm]\pi r^{2}[/mm] + h*2 * [mm]\pi[/mm] r
>
> Nun habe ich mir gedacht, dass die Oberfläche die
> Nebenbedingung darstellt. Ist das richtig?
Nein, da gerade die Oberfläche minimal sein soll, ist es die Zielfunktion.
> Weiterhin habe ich angenommen, dass ich die Ableitung der
> Oberfläche Null setzen muss, um die Extremstelle
> herauszufinden.
Richtig, allerdings kannst du das erst machen, wenn die Oberfläche nicht mehr von zwei, sondern nur noch von einer Größe abhängt.
Dazu dient die Nebenbedingung V = [mm]\pi r^{2}[/mm] * h,
die ein Umstellen nach h und somit das Ersetzen von h in der Zielfunktion durch [mm] \bruch{V}{\pi r^{2}} [/mm] erlaubt.
Gruß Abakus
> Das ergibt logischerweise r=0 und h=0. Damit komme ich ja
> nicht weiter.
>
> Nächste Idee war Lagrange.
> Ist Lagrange der richtige Weg? Wie baue ich dann ein, dass
> die Oberfläche Minimal sein muss?
>
> Ansonsten habe ich noch darüber nachgedacht, dass ich die
> Volumen-Funktion Umstellen muss, sodass sie nicht mehr von
> r und h abhängig ist, sondern von V...
>
> Kann mir jemand einen Ansatz geben?
> Ich wäre sehr dankbar!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 27.06.2010 | | Autor: | Xnyzer |
Dementsprechend habe ich jetzt, die Oberfläche (Abhängig von r) abgeleitet und Null gesetzt.
Dies ergibt, dass r = [mm] \wurzel[2]{V / \pi}
[/mm]
und h=1
Sind das realistische Ergebnisse? Vor allem, dass die Höhe immer 1 sein soll, wundert mich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 27.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Dementsprechend habe ich jetzt, die Oberfläche (Abhängig
> von r) abgeleitet und Null gesetzt.
> Dies ergibt, dass r = [mm]\wurzel[2]{V / \pi}[/mm]
> und h=1
>
> Sind das realistische Ergebnisse? Vor allem, dass die Höhe
> immer 1 sein soll, wundert mich.
Hallo,
die Zielfunktion war zunächst O = 2 [mm] \pi*r^2 [/mm] + h*2 [mm] *\pi* [/mm] r
Wegen [mm] h=V/(2\pi*r^2) [/mm] gilt
O = 2 [mm] \pi*r^2 +\bruch{ V*\pi* r}{2\pi*r^2}= [/mm] 2 [mm] \pi*r^2 +\bruch{ V}{2*r}
[/mm]
Daraus folgt [mm] O'=4\pi*r-\bruch{V}{2r^2}.
[/mm]
Null setzen und umstellen nach r liefert eine dritte Wurzel ...
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:27 So 27.06.2010 | | Autor: | Xnyzer |
Ich glaube du hast dich beim Umstellen vertan!?
In deiner ersten Antwort hast du noch gesagt, dass h = [mm] \bruch{V}{\pi * r^{2}} [/mm] ist. Auf dieses Ergebnis komme ich auch aus der Nebenbedingung [mm] V=\pi [/mm] h [mm] r^2
[/mm]
Eingesetzt in die ZF: O = 2 [mm] \pi r^2 [/mm] + h 2 [mm] \pi [/mm] r
O = 2 [mm] \pi [/mm] r + [mm] \bruch{V}{\pi * r^{2}} [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] r
O = 2 [mm] \pi [/mm] r + [mm] \bruch{2V}{r}
[/mm]
O' = 2 [mm] \pi [/mm] - [mm] \bruch{2V}{r^{2}} [/mm] = 0
=> [mm] r=\wurzel{\bruch{V}{\pi}}
[/mm]
r in h = [mm] \bruch{V}{\pi * r^{2}}
[/mm]
=> h=1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Xnyzer |
Ich habe meinen Fehler entdeckt.
Vielen Dank und gute Nacht!
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