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randwertpb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Mi 28.03.2012
Autor: Sabrinchen101

Aufgabe
hallo zusammen,
ich hänge bei folgender aufgabe.
löse das randwertproblem mit hilfe der methode der charakteristik.
[mm]x*\frac{\partial(u)}{\partial(y)} +y\frac{\partial(u)}{\partial(y)}=2u [/mm], [mm]u(x,1)=g(x),x e R,y>0[/mm]


also als 1. muss ich die parametrisierung finden --> [mm]\gamma (s)=(s,1,g(s))[/mm]
2. system der charakteristiken:
[mm]x_{t} (t,s)=x[/mm]
[mm]y_{t} (t,s)=y[/mm]
[mm]u_{t} (t,s)=2u[/mm]

mit
[mm]x(0,s)=s[/mm]
[mm]y(0,s)=1[/mm]
[mm]u(0,s)=g(s)[/mm]

dann das system gew. DGL
[mm]x(t,s)=c1(s)e^t[/mm]
[mm]y(t,s)=c2(s)e^t[/mm]
[mm]u(t,s)=2c3(s)e^t[/mm]

die lsg muss nun die anfangsbedingung erfüllen
[mm]s=x(0,s)=c1(s)[/mm]
[mm]1=y(0,s)=c2(s)[/mm]
[mm]g(s)=u(0,s)=2c3(s)[/mm]

so und jetzt hängts... weiß jemand weiter??
danke

        
Bezug
randwertpb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mi 28.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> hallo zusammen,
> ich hänge bei folgender aufgabe.
>  löse das randwertproblem mit hilfe der methode der
> charakteristik.
>  [mm]x*\frac{\partial(u)}{\partial(y)} +y\frac{\partial(u)}{\partial(y)}=2u [/mm],
> [mm]u(x,1)=g(x),x e R,y>0[/mm]
>  
> also als 1. muss ich die parametrisierung finden --> [mm]\gamma (s)=(s,1,g(s))[/mm]
>  
> 2. system der charakteristiken:
>  [mm]x_{t} (t,s)=x[/mm]
>  [mm]y_{t} (t,s)=y[/mm]
>  [mm]u_{t} (t,s)=2u[/mm]
>  
> mit
>  [mm]x(0,s)=s[/mm]
>  [mm]y(0,s)=1[/mm]
>  [mm]u(0,s)=g(s)[/mm]
>  
> dann das system gew. DGL
>  [mm]x(t,s)=c1(s)e^t[/mm]
>  [mm]y(t,s)=c2(s)e^t[/mm]
>  [mm]u(t,s)=2c3(s)e^t[/mm]
>  
> die lsg muss nun die anfangsbedingung erfüllen
>  [mm]s=x(0,s)=c1(s)[/mm]
>  [mm]1=y(0,s)=c2(s)[/mm]
>  [mm]g(s)=u(0,s)=2c3(s)[/mm]
>  
> so und jetzt hängts... weiß jemand weiter??


Setze die ermittelten c1,c2,c3 in das System gewöhnlicher DGLn ein
und löse zwei Gleichungen nach s und t auf.
Setze dies dann in die 3. verbliebene Gleichung ein.


>  danke

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
randwertpb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Mi 28.03.2012
Autor: Sabrinchen101

c1,c2,c3 in die gew. DGL eingesetzt gibt
[mm]x(t,s)=s*e^t[/mm]
[mm]y(t,s)=e^t[/mm]
[mm]u(t,s)=g(s)*e^t[/mm]

dann nehm ich die ersten beiden, daraus bekomm ich t=log(y)
und [mm] s=x*e^t=x/y [/mm]
in (3) [mm] u(t,s)=g(s)e^t=g(x/y)e^{logy}=g(x/y)*y [/mm]

stimmt das so?

Bezug
                        
Bezug
randwertpb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Do 29.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> c1,c2,c3 in die gew. DGL eingesetzt gibt
>  [mm]x(t,s)=s*e^t[/mm]
>  [mm]y(t,s)=e^t[/mm]
>  [mm]u(t,s)=g(s)*e^t[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]u(t,s)=g(s)*e^{\blue{2}t}[/mm]


> dann nehm ich die ersten beiden, daraus bekomm ich
> t=log(y)
>  und [mm]s=x*e^t=x/y[/mm]
>  in (3) [mm]u(t,s)=g(s)e^t=g(x/y)e^{logy}=g(x/y)*y[/mm]
>  
> stimmt das so?


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
randwertpb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Do 29.03.2012
Autor: Sabrinchen101

oh ja stimmt, danke.

s und t müssten aber trotzdem stimmen.

d.h ich bekomm nur für [mm] u(t,s)=g(x/y)*y^2 [/mm] , oder??

Bezug
                                        
Bezug
randwertpb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Do 29.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> oh ja stimmt, danke.
>  
> s und t müssten aber trotzdem stimmen.
>
> d.h ich bekomm nur für [mm]u(t,s)=g(x/y)*y^2[/mm] , oder??


Die Lösung lautet nun mehr:

[mm]u\left(x,y\right)=g\left(\bruch{x}{y}\right)*y^{2}[/mm] [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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randwertpb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Do 29.03.2012
Autor: Sabrinchen101

alles klar :)
ich hab noch ne aufgabe von der form
[mm]x\frac{\partial u}{\partial x} +2y\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial u}{\partial z}=3u[/mm]
[mm]u(x,y,0)=g(x,y)[/mm] x,y [mm] \in \mathbb [/mm] R

also als erstes hab ich wieder die parametrisierung
[mm]\gamma (s)=(s,s,0,g(s,s))[/mm]
das system der charakteristiken
[mm] x_{t} [/mm] (t,s)=x
[mm] y_{t} [/mm] (t,s)=2y
[mm] z_{t} [/mm] (t,s)=1
[mm] u_{t} [/mm] (t,s)=3u
mit
x(0,s)=s (--> oder muss es hier x(0,0,s) heißen???)
y(0,s)=s
z(0,s)=0
u(0,s)=g(s,s)

system gew. dgl
[mm] x(t,s)=c1(s)e^t [/mm]
y(t,s)=c2(s)e^2t
z(t,s)=c3(s)+t
u(t,s)=c4(s)e^3t

muss anfangsbed. erfüllen
s=x(0,s)=c1(s)
s=y(0,s)=c2(s)
0=z(0,s)=c3(s)
g(s,s)=u(0,s)=c4(s)

[mm] -->x(t,s)=s*e^t [/mm]
[mm] y(t,s)=s*e^t [/mm]
z(t.s)=t
[mm] u(t,s)=g(s,s)e^t [/mm]

stimmt das alles soweit??




Bezug
                                                        
Bezug
randwertpb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Do 29.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> alles klar :)
>  ich hab noch ne aufgabe von der form
>  [mm]x\frac{\partial u}{\partial x} +2y\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial u}{\partial z}=3u[/mm]
>  
> [mm]u(x,y,0)=g(x,y)[/mm] x,y [mm]\in \mathbb[/mm] R
>
> also als erstes hab ich wieder die parametrisierung
>  [mm]\gamma (s)=(s,s,0,g(s,s))[/mm]
>  das system der
> charakteristiken
>  [mm]x_{t}[/mm] (t,s)=x
>  [mm]y_{t}[/mm] (t,s)=2y
>  [mm]z_{t}[/mm] (t,s)=1
>  [mm]u_{t}[/mm] (t,s)=3u


Hier muss es doch heißen:

[mm]x_{t}(t,s,\blue{v})=x [/mm]
[mm]y_{t}(t,s,\blue{v})=2y[/mm]
[mm]z_{t}(t,s,\blue{v})=1[/mm]
[mm]u_{t}(t,s,\blue{v})=3u[/mm]


>  mit
>  x(0,s)=s (--> oder muss es hier x(0,0,s) heißen???)

>  y(0,s)=s
>  z(0,s)=0
>  u(0,s)=g(s,s)
>  


Analog hier:

[mm]x(0,s,\blue{v})=s[/mm]
[mm]y(0,s,\blue{v})=\blue{v}[/mm]
[mm]z(0,s,\blue{v})=0[/mm]
[mm]u(0,s,\blue{v})=g(s,v)[/mm]


> system gew. dgl
>  [mm]x(t,s)=c1(s)e^t[/mm]
>  y(t,s)=c2(s)e^2t
>  z(t,s)=c3(s)+t
>  u(t,s)=c4(s)e^3t
>  
> muss anfangsbed. erfüllen
>  s=x(0,s)=c1(s)
>  s=y(0,s)=c2(s)
>  0=z(0,s)=c3(s)
>  g(s,s)=u(0,s)=c4(s)
>  
> [mm]-->x(t,s)=s*e^t[/mm]
>  [mm]y(t,s)=s*e^t[/mm]
>  z(t.s)=t
>  [mm]u(t,s)=g(s,s)e^t[/mm]
>  
> stimmt das alles soweit??
>  


Gruss
MathePower
  

Bezug
                                                                
Bezug
randwertpb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Do 29.03.2012
Autor: Sabrinchen101

okay, d.h. ich hab dann die lösungen, die die anfangsbedingenungen erfüllen müssen

s=x(0,s,v)=c1(s)
v=y(0,s,v)=c2(s)
0=z(0,s,v)=c3(s)
g(s,v)=u(0,s,v)=c4(s)

also ich hoff, das system der gew. dgl stimmt noch, obwohl jetzt alles noch von v abhängt?!

[mm] x(t,s,v)=se^t [/mm]
[mm] y(t,s,v)=ve^t [/mm]
z(t,s,v)=t
[mm] u(t,s,v)=g(s,v)e^t [/mm]

aus I: [mm] s=x*e^{-t} [/mm]
aus II [mm] v=y*e^{-t} [/mm]
t=z

dann bekomm ich u(x,y,z)=g(xe^-z,ye^-z)e^-z

Bezug
                                                                        
Bezug
randwertpb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Fr 30.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> okay, d.h. ich hab dann die lösungen, die die
> anfangsbedingenungen erfüllen müssen
>  
> s=x(0,s,v)=c1(s)
>  v=y(0,s,v)=c2(s)
>  0=z(0,s,v)=c3(s)
>  g(s,v)=u(0,s,v)=c4(s)
>  
> also ich hoff, das system der gew. dgl stimmt noch, obwohl
> jetzt alles noch von v abhängt?!
>  
> [mm]x(t,s,v)=se^t[/mm]
>  [mm]y(t,s,v)=ve^t[/mm]
>  z(t,s,v)=t
>  [mm]u(t,s,v)=g(s,v)e^t[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]u(t,s,v)=g(s,v)e^{\blue{3}t}[/mm]


> aus I: [mm]s=x*e^{-t}[/mm]
>  aus II [mm]v=y*e^{-t}[/mm]
>  t=z
>  
> dann bekomm ich u(x,y,z)=g(xe^-z,ye^-z)e^-z


Gruss
MathePower

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