randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mo 26.11.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | finde die allgemeine loesung der differentialgleichung
[mm] \ddot{x} [/mm] + [mm] \omega^2 x=e^{-\Gamma t}.
[/mm]
bestimme die integrationskonstanten so, dass folgende randbedingungen erfuellt werden:
a) anfangswertproblem: x(0)=0 und [mm] \dot{x}(0)=0
[/mm]
b) randwertproblem: x(0)=0 und x(T)=0. zeige, dass das randwertproblem nicht immer eine loesung hat und bestimme diese zeiten T wo die loesung nicht mehr wohldefiniert ist. |
hallo,
die allgemeine loesung lautet: [mm] x(t)=x_p(t)+x_{hom}(t)=\frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}e^{-\Gamma t}+x_0\cos(\omega t+\phi).
[/mm]
zu a):
[mm] \frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}+x_0\cos(\phi) [/mm] (1)
[mm] \frac{-\Gamma}{\Gamma^2+\omega^2}-x_0\omega\sin(\phi) [/mm] (2)
[mm] (1)\cdot\omega\sin(\phi)+(2)\cdot\cos(\phi): [/mm]
[mm] \sin(\phi)=\frac{\Gamma}{\omega} [/mm] und daraus folgt [mm] \phi=arcsin\left(\frac{\Gamma}{\omega}\right)
[/mm]
[mm] (1)\cdot\omega\cos(\phi)-(2)\cdot\sin(\phi): [/mm]
[mm] x_0=-\frac{\Gamma^2+\omega^2\cos\left(arcsin\left(\frac{\Gamma}{\omega}\right)\right)}{\omega^2(\Gamma^2+\omega^2)}
[/mm]
insgesamt: [mm] x(t)=\frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}e^{-\Gamma t}-\frac{\Gamma^2+\omega^2\cos\left(arcsin\left(\frac{\Gamma}{\omega}\right)\right)}{\omega^2(\Gamma^2+\omega^2)}\cos\left(\omega t+arcsin\left(\frac{\Gamma}{\omega}\right)\right)
[/mm]
bis hier ist das so richtig, oder?
zu b):
[mm] \frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}+x_0\cos(\phi) [/mm] =0 (1)
[mm] \frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}e^{-\Gamma T}+x_0\cos(\omega T+\phi)=0 [/mm] (2)
hier komm ich nicht mehr weiter. kann mir einer bitte weiterhelfen??
danke!
gruss beta
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mo 26.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> finde die allgemeine loesung der differentialgleichung
> [mm]\ddot{x}[/mm] + [mm]\omega^2 x=e^{-\Gamma t}.[/mm]
> bestimme die
> integrationskonstanten so, dass folgende randbedingungen
> erfuellt werden:
>
> a) anfangswertproblem: x(0)=0 und [mm]\dot{x}(0)=0[/mm]
> b) randwertproblem: x(0)=0 und x(T)=0. zeige, dass das
> randwertproblem nicht immer eine loesung hat und bestimme
> diese zeiten T wo die loesung nicht mehr wohldefiniert
> ist.
> hallo,
>
> die allgemeine loesung lautet:
> [mm]x(t)=x_p(t)+x_{hom}(t)=\frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}e^{-\Gamma t}+x_0\cos(\omega t+\phi).[/mm]
Richtig
> zu a):
> [mm]\frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}+x_0\cos(\phi)=0[/mm] (1)
> [mm]\frac{-\Gamma}{\Gamma^2+\omega^2}-x_0\omega\sin(\phi)=0[/mm]
> (2)
>
> [mm](1)\cdot\omega\sin(\phi)+(2)\cdot\cos(\phi):[/mm]
> [mm]\sin(\phi)=\frac{\Gamma}{\omega}[/mm] und daraus folgt
> [mm]\phi=arcsin\left(\frac{\Gamma}{\omega}\right)[/mm]
wie du das gerechnet hast seh ich nicht ganz.
ich komme mit [mm] \*(1)+2 [/mm] auf [mm] tan\phi=\Gamma/\omega
[/mm]
dadurch auch für [mm] x_0 [/mm] auf ein anderess Ergebnis!
wenn du statt mit [mm] x_0cos(\omega*t+\phi)
[/mm]
mit [mm] A*sin\omega*t+ B*cos\omega*t [/mm] rechnest wird das alles einfacher, insbesondere auch das Randwertproblem!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mo 26.11.2007 | | Autor: | beta81 |
hallo, danke fuer die antwort!
> ich komme mit [mm]\*(1)+2[/mm] auf [mm]tan\phi=\Gamma/\omega[/mm]
ich auch. hab mich verrechnet. sorry.
> wenn du statt mit [mm]x_0cos(\omega*t+\phi)[/mm]
> mit [mm]A*sin\omega*t+ B*cos\omega*t[/mm] rechnest
wie kommst du drauf? ich haette [mm]A*e^{i\omega t}+ A^{\*}e^{-i\omega t}[/mm], wobei [mm] A^{\*} [/mm] das konjugiert komplexe zu A ist.
das randwertproblem lautet dann:
[mm] \frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}=0
[/mm]
[mm] \frac{1}{\Gamma^2+\omega^2}e^{-\Gamma T}+A*e^{i\omega T}+ A^{\*}e^{-i\omega T}=0
[/mm]
wie gehts jetzt weiter?
gruss beta
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Di 27.11.2007 | | Autor: | beta81 |
ok. geschafft!
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