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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Mi 30.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo ihr Lieben!
ich hab gelesen, dass der rang einer matrix,der identische zeilen und spaltenrang ist.das hieße ja dass ich nur den rang einer quadratischen matrix bestimmen könnte aber was mache ich bei matrizen [mm] wie:\pmat{ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 0 } [/mm] hier ist der zeielnrang ja 3 und der spaltenrang 2 aber wie ist dann der rang???
lieben gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich hab gelesen, dass der rang einer matrix,der identische
> zeilen und spaltenrang ist.das hieße ja dass ich nur den
> rang einer quadratischen matrix bestimmen könnte aber was
> mache ich bei matrizen [mm]wie:\pmat{ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 0 }[/mm]
> hier ist der zeielnrang ja 3 und der spaltenrang 2 aber wie
> ist dann der rang???
> lieben gruß
Wieso sollte der Zeilenrang 3 sein? Die erste und zweite Zeile sind linear abhängig (2*Zeile 2=Zeile 1).
Außerdem gilt sogar stets Zeilenrang=Spaltenrang bei einer Matrix.
Also hier:
Zeilenrang=Spaltenrang=2
Übrigens kann man den Rang einer beliebigen Matrix bestimmen:
Es ist einfach die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten (bzw. Zeilen). So hätte z.B. die (nichtquadratische) Matrix
[mm] $A=\pmat{ 1 & 0 & 3 & 7\\ 0 & 1 & 3& 7}$
[/mm]
den Rang 2.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Mi 30.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel,
alles klar,danke!
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 30.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel,
ich habe doch nochmal eine frage hierzu,was heißt:eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv wenn die Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat:rang(A)=n.also was injektiv bedeutet,weiß ich aber unter den rest kann ich mir irgendwie nichts vorstellen.was ist mit vollen spaltenrang gemeint?rang (A) ist doch immer =zeilenrang m und =spaltenrang n haben wir doch vorhin gesagt oder?
gruß
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Hallo!
Sagen wir du hast eine 5 [mm] \times [/mm] 5 Matrix und durch elementare Umformungen bekommst du den Rang=5 heraus dann hat die Matrix vollen Spalten- bzw Zeilenrang und dadurch ist die Matrix injektiv
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 30.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo!
danke für die antwort aber in diesem fall ist sie ja dann auch surjektiv und damit auch bijektiv und damit gibt das doch gar keinen sinn oder?dann hat eine matrix ja immer vollen zeilen und spaltenrang,wofür ist dann die aussage notwendig?dann muss es doch auch matrizen geben die keinen vollen zeilen oder spaltenrang haben oder nicht?
lieben gruß
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Hallo,
diese Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 0 & 1 &3\\0 & 0 &3\\0 & 0 &0\\0 & 0 &0\\0 & 0 &0}
[/mm]
hat vollen Spaltenrang: der Rang der Matrix ist =3, und die Anzahl der Spalten =3.
Das bedeutet: das Bild der durch die Matrix repräsentierten Abbildung hat die Dimension drei = Dimension des Startraumes. also ist die Abbildung injektiv.
(Voller Zeilenrang: surjektiv)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 30.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela!
danke für deine hilfe,das heißt ja dann in deinem beispiel dass die matrix aber keinen vollen zeilenrang hat da [mm] rang(A)\not=n \Rightarrow 3\not=6.habe [/mm] ich das so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Sabah |
hallo angela!
danke für deine hilfe,das heißt ja dann in deinem beispiel dass die matrix aber keinen vollen zeilenrang hat da [mm] rang(A)\not=n \Rightarrow 3\not=6.habe [/mm] ich das so richtig verstanden?
Hallo
[mm] rang(A)\not=n \Rightarrow 3\not=6
[/mm]
was bringt dir diese Aussage? nichts
Vorgegeben war
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3 \\ 0 & 1 &3\\0 & 0 &3\\0 & 0 &0\\0 & 0 &0\\0 & 0 &0}
[/mm]
6 Stück Zeilenvektoren aus den Raum [mm] \IR^{3}
[/mm]
Der Rang ist hier maximal 3, 4 oder mehr kann es nicht sein, weil im Raum [mm] \IR^{3} [/mm] gibt es maximal 3 Linearunabhängige Vektoren. Die 3 Vektoren kann man auch als Basis vom [mm] \IR^{3} [/mm] nennen.
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> danke für deine hilfe,das heißt ja dann in deinem beispiel
> dass die matrix aber keinen vollen zeilenrang hat
Hallo,
genau.
Denn es ist rangA=3, die Anzahl der Zeilen jedoch 6.
(Wie Sabah richtig bemerkt, hat die Matrix Höchstrang, ein größerer Rang als 3 ist hier nicht möglich).
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mini,
ist Dir das an dem Beispiel von Angela nun klar geworden?
Also das ganze mal ein wenig theoretisch durchgekaut:
Für eine Matrix $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] ($m,n [mm] \in \IN$) [/mm] gilt: $rg(A)=$Zeilenrang($A$)=Spaltenrang($A$)
Daraus ergibt sich in natürlicher Weise, dass $rg(A) [mm] \le \min \{m,n\}$. [/mm] Man sagt ferner, dass eine solche Matrix vollen Zeilenrang hat, wenn $rg(A)=m$. Und man sagt, dass sie vollen Spaltenrang hat, wenn $rg(A)=n$.
Angelas Matrix im unten stehenden Post:
[mm] $A:=\pmat{ 1 & 2 &3 \\ 0 & 1 &3\\0 & 0 &3\\0 & 0 &0\\0 & 0 &0\\0 & 0 &0}$
[/mm]
ist eine $6 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix, daher gilt für diese, dass $rg(A) [mm] \le \min \{6,3\}=3$. [/mm] Man erkennt sofort, dass hier der Spaltenrang =3 ist, sie hat also vollen Spaltenrang, aber natürlich kann diese Matrix alleine schon wegen der Tatsache $rg(A) [mm] \le \min \{6,3\}=3$ [/mm] keinen vollen Zeilenrang haben.
D.h., wenn Du Matrizen der Form
$A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] mit $m, n [mm] \in \IN$ [/mm] und $m [mm] \not=n$ [/mm] hast, so wird hier zwar weiterhin $rg(A)$=Zeilenrang($A$)=Spaltenrang($A$) gelten, aber für diese Matrix wird sicherlich gelten:
$A$ hat nicht vollen Spaltenrang oder $A$ hat nicht vollen Zeilenrang.
(Beachte, dass diese Aussage auch beinhaltet, dass $A$ weder vollen Zeilenrang noch vollen Spaltenrang haben kann.)
(Anders formuliert:
Eine solche Matrix, die gleichzeitig vollen Spalten- und Zeilenrang hat, muss quadratisch sein, also $m=n$ erfüllen.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mi 30.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel,
danke für deine antwort,ich habe es jetzt zu 100% verstanden!
lieben gruß
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