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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 So 19.04.2009 | | Autor: | ecko |
hallo,
ich hab X geg., eine (n × k)-Matrix. Soll nun zeigen, dass rk(X) = k eine hinreichende Bedingung für die Existenz der inversen Matrix [mm] (X^{T}X)^{-1} [/mm] ist. rk(X) soll der Rang der Matrix X sein.
Hat jemand eine Idee? Algebra ist nicht so mein Lieblingsthema :(
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> hallo,
> ich hab X geg., eine (n × k)-Matrix. Soll nun zeigen, dass
> rk(X) = k eine hinreichende Bedingung für die Existenz der
> inversen Matrix [mm](X^{T}X)^{-1}[/mm] ist. rk(X) soll der Rang der
> Matrix X sein.
>
> Hat jemand eine Idee? Algebra ist nicht so mein
> Lieblingsthema :(
Hallo,
auch wenn das nicht Dein Lieblingsthema ist: so ein paar kleine Ansätze hätte ich durchaus erwartet.
Hast Du Dir z.B. mal vergegenwärtigt, von welcher Machart die Matrix [mm] X^{T}X)^{-1} [/mm] ist?
Aufgrund der nicht vorhandenen Ansätze habe ich auch keine Vorstellung, wie weit Deine LA gediehen ist.
Ein fixer Beweis nur mit Indexgefrickel ist mir nicht eingefallen - das bedeutet keinesfalls, daß es keinen gibt.
Lösungsvorschlag.
Du hast
> X geg., eine (n × k)-Matrix.
mit
> rk(X) = k .
Überleg Dir, daß X injektiv ist.
Überleg Dir weiter, daß [mm] X^{T}X)^{-1} [/mm] eine kxk-Matrix ist und symmetrisch.
Als nächstes kannst Du zeigen, daß [mm] X^{T}X)^{-1} [/mm] positiv definit ist.
Zusammen mit der Symmetrie folgt, daß alle Eigenwerte positiv sind. Somit ist [mm] X^{T}X)^{-1} [/mm] ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten, und damit weißt Du, daß die Det. [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mo 20.04.2009 | | Autor: | ecko |
Hallo, also ich habe mir noch keine Lösungsgedanke darueber gemacht weil ich das mit der hinreichenden Bedingung für die Ex der Inversen X^TX. Ich bin hier nicht auf Beweis suche, sondern jemand sollte mir erklären was das mit der hinreichenden Bedingung auf sich hat. thx
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> Hallo, also ich habe mir noch keine Lösungsgedanke darueber
> gemacht weil ich das mit der hinreichenden Bedingung für
> die Ex der Inversen X^TX. Ich bin hier nicht auf Beweis
> suche, sondern jemand sollte mir erklären was das mit der
> hinreichenden Bedingung auf sich hat. thx
Hallo,
achso.
Du sollst zeigen, daß aus
rg(X)=k folgt, daß X^tX invertierbar ist.
Wenn dies der Fall ist, dann ist rg(X)=k eine hinreichende Bedingung für die Invertierbarkeit von X^tX.
Gruß v. Angela
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