rausgekürzte def.lücke < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist die Funktion f mit $f(x) = [mm] \frac{x-3}{x-3}$ [/mm] im Punkt x=3 definiert? |
moin,
Es geht nicht um diese spezielle Funktion sondern allgemein um Funktionen (bzw. Brüche), bei denen sich eine Nullstelle des Nenners rauskürzt.
Ich habe eben in ein und der selben Musterlösung für zwei verschiedene Funktionen diesen Typs einmal "ist definiert" und einmal "ist stetig ergänzbar, aber nicht definiert" gefunden, weswegen ich gerade ein ganz klein wenig verwirrt bin.^^
Also ist so eine Funktion bzw. so ein Bruch in diesem Fall definiert oder nicht?
Oder ist das ein Fall für "macht jeder wie er lustig ist"?
thx für Antworten
Schadowmaster
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 So 04.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist meiner Meinung nach ein klassischer Fall von "Stetig Fortsetzbar mit f(3):=1"
Marius
P.S.: Ich habe die Frage mal als Umfrage gesetzt, damit du nicht nur eine Antwort bekommst.
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> Ist die Funktion f mit [mm]f(x) = \frac{x-3}{x-3}[/mm] im Punkt x=3
> definiert?
Hallo,
da gibt es überhaupt nichts zu deuteln:
die Funktion f ist an der Stelle x=3 natürlich nicht definiert, denn wenn ich die 3 einsetze, bekomme ich einen undefinierten Ausdruck.
Der Definitionsbereich von f ist also [mm] D_f=\IR\backslash\{3\}.
[/mm]
Außerhalb der undefinierten Stelle x=3 kann man den Bruch kürzen, so daß man f(x)=1 bekommt für [mm] x\not=3, [/mm] aber wo nichts definiert ist, kann man auch nichts kürzen.
Man könnte, wenn man wollte, auch schreiben
[mm] f:\IR\backslash\{3\}\to\IR [/mm]
f(x):=1.
Diese Funktion unterscheidet sich von der Funktion
[mm] g:\IR\to\IR
[/mm]
g(x):=1,
denn die Definitionsbereiche beider Funktionen stimmen nicht überein.
Du fragst nicht danach, aber ich teile es trotzdem mit:
Die Funktionen f und g sind beide stetig, und
man kann f stetig fortsetzen zu einer auf ganz [mm] \IR [/mm] definierten Funktion [mm] \overline{f}\qquad [/mm] (=g), indem man definiert
[mm] \overline{f}(x):=[/mm] [mm]\begin{cases} f(x), & \mbox{fuer } x\not=3 \\
1, & \mbox{fuer } x=3 \end{cases}[/mm].
Gruß . Angela
> moin,
>
> Es geht nicht um diese spezielle Funktion sondern allgemein
> um Funktionen (bzw. Brüche), bei denen sich eine
> Nullstelle des Nenners rauskürzt.
> Ich habe eben in ein und der selben Musterlösung für
> zwei verschiedene Funktionen diesen Typs einmal "ist
> definiert" und einmal "ist stetig ergänzbar, aber nicht
> definiert" gefunden, weswegen ich gerade ein ganz klein
> wenig verwirrt bin.^^
>
> Also ist so eine Funktion bzw. so ein Bruch in diesem Fall
> definiert oder nicht?
> Oder ist das ein Fall für "macht jeder wie er lustig
> ist"?
>
> thx für Antworten
>
> Schadowmaster
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jo, dass man das stetig fortsetzen kann ist mir klar.
Also ist das definitiv nicht definiert?
Ok, thx, dann werd ich morgen mal wegen der Musterlösung auf ein paar Füße treten.^^
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> [mm]\overline{f}(x):=[/mm] [mm]\begin{cases} f(x), & \mbox{fuer } x\not=0 \\
1, & \mbox{fuer } x=0 \end{cases}[/mm].
Guten Abend Angela,
du meintest natürlich
[mm]\overline{f}(x):=[/mm] [mm]\begin{cases} f(x), & \mbox{fuer } x\not=3 \\
1, & \mbox{fuer } x=3 \end{cases}[/mm]
Ich habe jetzt gerade noch einen kleinen Test gemacht:
1.) Das CAS des Voyage 200 vereinfacht (x-3)/(x-3) zu 1 , gibt
aber dazu noch die Meldung:
"Note: Domain of result may be larger"
Das kann man gelten lassen.
2.) Dann aber derselbe Test mit Mathematica:
Die Eingabe (x-3)/(x-3) oder auch Simplify[(x-3)/(x-3)] liefert
(kommentarlos !) das Ergebnis 1 ...
Da war ich fast ein wenig baff ! (Ich weiß nicht, ob man durch
gewisse zusätzliche Festlegungen erreichen kann, dass der
Term in korrekter Weise nicht gekürzt bzw. als Antwort
eine Fallunterscheidung geliefert würde.
Wenn ich die Funktion a[x_]:=Simplify[(x-3)/(x-3)] definiere
und dann a[x] abrufe, ist das Ergebnis wieder einfach 1 .
Aber: a[3] liefert dann seltsamerweise doch eine Fehlermeldung
wegen Division durch 0 !
Anders ist es, wenn man a[x_]=Simplify[(x-3)/(x-3)] (ohne
Doppelpunkt) definiert. Darauf liefert a[3] auch kommentarlos
den Wert 1 .
lieben Gruß
Al
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So, ich habe mal den Prof drauf angesprochen, dabei kam folgendes heraus:
Der maximale Definitionsbereich einer reelen Funktion f ist definiert als Vereinigung des Definitionsbereichs von f mit der Menge aller $x [mm] \in \IR$, [/mm] für die f stetig ergänzbar ist.
Zumindest hat der Prof den Begriff so definiert, ob das allgemein so gehandelt wird weiß ich nicht.
Also obige Funktion mit f(x) = [mm] $\frac{x-3}{x-3}$ [/mm] hat als Definitionsbereich [mm] $\IR \backslash \{3\}$, [/mm] aber als maximalen Definitionsbereich ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
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> So, ich habe mal den Prof drauf angesprochen, dabei kam
> folgendes heraus:
>
> Der maximale Definitionsbereich einer reelen Funktion f ist
> definiert als Vereinigung des Definitionsbereichs von f mit
> der Menge aller [mm]x \in \IR[/mm], für die f stetig ergänzbar
> ist.
>
> Zumindest hat der Prof den Begriff so definiert, ob das
> allgemein so gehandelt wird weiß ich nicht.
>
> Also obige Funktion mit f(x) = [mm]\frac{x-3}{x-3}[/mm] hat als
> Definitionsbereich [mm]\IR \backslash \{3\}[/mm], aber als maximalen
> Definitionsbereich ganz [mm]\IR[/mm].
Hallo Schadowmaster,
sorry für deinen Prof, aber diese Definition ist schwachsinnig !
(bitte mit der angemessenen, aber keinesfalls zuviel
Diplomatie weiterleiten !)
Wie soll der "maximale Definitionsbereich" größer sein als
der wahre Definitionsbereich ?
Wenn man schon so einen Begriff einführen möchte, so sollte
man sich dafür wenigstens einen gescheiteren Namen einfallen
lassen, welcher die wahre Situation korrekt beschreibt.
Vorschlag:
"maximaler Definitionsbereich einer stetigen Ergänzung von f"
LG Al-Chwarizmi
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Jo, bin ich ganz deiner Meinung, aber was soll man machen?^^
Die armen Vorkursteilnehmer sind auch so schon verwirrt genug von
"das kürzt sich raus, also ist die Funktion in x=3 definiert, indem einfach f(3) = 1 definiert wird".
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> Jo, bin ich ganz deiner Meinung, aber was soll man
> machen?^^
> Die armen Vorkursteilnehmer sind auch so schon verwirrt
> genug von
>
> "das kürzt sich raus, also ist die Funktion in x=3
> definiert, indem einfach f(3) = 1 definiert wird".
Naja, da weiß ich auch nicht recht, in welchen Nachhilfe-
kurs man diesen Tutor schicken sollte.
Ich möchte euch aber empfehlen (da es sich mathematisch
gesehen schon nicht einfach um eine Lappalie handelt),
mit ihm zu sprechen und allenfalls unter Beizug einer
weiteren geeigneten Person die Sache zu klären.
Wenn dies in einem Vorkurs stattfindet, könnten die
möglichen Folgeschäden doch nicht ganz unerheblich
sein ...
Mir fällt aber dazu noch Folgendes ein:
Sollte es sich etwa um eine Betrachtung im Zusammenhang
mit einem Differenzenquotienten und einer gesuchten
Ableitung sein, dann darf man auch nicht einfach sagen,
dass etwa [mm] \frac{3-3}{3-3}=1 [/mm] sei.
Absolut richtig wäre aber die Aussage:
[mm] $\limes_{x\to3}\ \frac{x-3}{x-3}\ [/mm] =\ 1$
Viel Glück !
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Do 15.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> So, ich habe mal den Prof drauf angesprochen, dabei kam
> folgendes heraus:
>
> Der maximale Definitionsbereich einer reelen Funktion f ist
> definiert als Vereinigung des Definitionsbereichs von f mit
> der Menge aller [mm]x \in \IR[/mm], für die f stetig ergänzbar
> ist.
Ich kann mich Al nur anschließen: obiges ist totaler Schwachsinn !
Betrachte mal die Funktion [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] def. durch
f(x)=1, falls x [mm] \in \IQ [/mm] und f(x) =0, falls x [mm] \in \IR \setminus \IQ.
[/mm]
Mach Dir klar, dass f in keinem (!) x [mm] \in \IR [/mm] stetig ist.
Was ist denn nun der maximale Definitionsbereich von f ???
>
> Zumindest hat der Prof den Begriff so definiert,
Was ist den dieser Prof von Beruf ?
> ob das
> allgemein so gehandelt wird weiß ich nicht.
Nein, so wird das nie und nimmer gehandelt.
FRED
>
> Also obige Funktion mit f(x) = [mm]\frac{x-3}{x-3}[/mm] hat als
> Definitionsbereich [mm]\IR \backslash \{3\}[/mm], aber als maximalen
> Definitionsbereich ganz [mm]\IR[/mm].
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