rectangles - cylinder sets < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Di 05.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo liebe Matheraumler!
Ich habe eine Verständnis/Anschauungsfrage:
Wir haben in der Vorlesung measurable rectangles (messbare Rechtecke) und cylinder sets (Zylindermengen???) wie folgt definiert.
$I$ Indexmenge, [mm]\Omega_i[/mm] Mengen, [mm]\mathcal{A}_j[/mm] [mm] $\sigma$-Algebren
[/mm]
1) Messbare Rechtecke:
$J [mm] \subset [/mm] I$ endlich, [mm]A_j \in \mathcal{A}_j [/mm] . Dann ist ein messbares Rechteck A
[mm]A= \produkt_{j \in J} A_j \times \produkt_{j \in I \backslash J} \Omega_i[/mm]
Hierfür habe ich eine Vorstellung. Letztlich schränke ich endlich viele Dimensionen auf eine bestimmte (messbare) Menge ein.
2) Zylindermengen:
$S [mm] \subset [/mm] I$ endlich, [mm]B \in \otimes_{i \in S} \mathcal{A}_i[/mm] Elemente aus der endlichen [mm] Produkt-\sigma-Algebra.
[/mm]
Weiter bezeichnet [mm]\pi_{I}^{S}[/mm] die Projektion eines Elements aus
[mm]\produkt_{i \in I} \Omega_i[/mm] auf endlich viele Indizes, also [mm]( \omega_i)_{i \in I} \mapsto (\omega_i)_{i \in S}[/mm]. Dann sind Zylindermengen alle Mengen
[mm](\pi_{S}^{I})^{-1}(B)=B \times \produkt_{j \in I \backslash S} \Omega_j[/mm]
Hierin sind auch alle messbaren Rechtecke enthalten, das ist mir klar.
Allerdings fehlt mir noch immer eine gewisse Anschauung für den Unterschied zwischen diesen Definitionen, bzw. der Unterschied ist für mich noch nicht "greifbar".
Ich hoffe, ihr könnt mir ein wenig auf die Sprünge helfen...
Vielen Dank und viele Grüße
Astrid
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Di 05.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Astrid!
Am besten man macht sich das an einem konkreten Beispiel klar und motiviert so zugleich die Begriffe "Zylindermenge" und "messbares Rechteck".
Im Folgenden seien
[mm] $\Omega_i [/mm] := [mm] \IR$ [/mm] für $i [mm] \in I:=\{1,2,3\}$,
[/mm]
[mm] ${\cal A}_i [/mm] := [mm] {\cal B}(\IR)$ [/mm] für $i [mm] \in [/mm] I$,
[mm] $S:=\{2,3\}$.
[/mm]
Wählt man speziell
[mm] $B:=D_1(0) [/mm] = [mm] \{(y,z) \in \IR^2\, : \, y^2+z^2<1\}$,
[/mm]
also $B$ als offene Einheitskreisscheibe im [mm] $\IR^2$, [/mm] so ist:
[mm] $\left(\pi_I^S\right)^{-1}(B) [/mm] = [mm] \left( \pi_{\{1,2,3\}}^{\{2,3\}} \right)^{-1}(D_1(0)) [/mm] = [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3\, : \, y^2 + z^2<1\} [/mm] = [mm] \IR \times D_1(0)$
[/mm]
in der Tat ein (offener) unendlicher Zylinder!!
Und dieser Zylinder, so behaupte ich, ist kein messbares Rechteck!
Wäre dem so, so müsste es messbare Mengen [mm] $A_1,A_2 \in {\cal B}(\IR)$ [/mm] geben mit
[mm] $\IR \times D_1(0) [/mm] = [mm] \IR \times A_1 \times A_2$,
[/mm]
also mit
[mm] $D_1(0) [/mm] = [mm] A_1 \times A_2$.
[/mm]
Es müsste sich also eine offene Kreisscheibe als kartesisches Produkt zweier messbarer Mengen schreiben lassen.
Das aber geht offenbar nicht.
Durch kartesische (Zweier-)Produkte messbarer Mengen in [mm] $\IR$ [/mm] kann man nur so etwas wie Vereinigungen von Rechtecken (=Quadern) im [mm] $\IR^2$ [/mm] erzeugen, aber keinesfalls Kreisscheiben!
Daher kommt der Name "messbare Rechtecke".
Das "typische" Beispiel für eine Zylindermenge ist also tatsächlich ein (unendlicher) Zylinder (oder etwas Ähnliches, die Basismenge, also das "$B$" in der Definition der Zylindermengen, kann auch viel komplizierter aussehen als ein Kreis) und das "typische" Beispiel für ein messbares Rechteck ist ein stinknormaler (unendlicher) Quader.
Umgekehrt ist aber natürlich, wie du selber festgestellt hast, jedes messbare Rechteck auch eine Zylindermenge, wenn ich nämlich einfach $B$ schon als karteisches Produkt von messbaren Mengen wähle.
Ist es jetzt etwas klarer geworden? 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Di 05.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Lieber Stefan,
vielen Dank für deine (unglaublich schnelle  ) Antwort.
Ist mir nun klar,wo der Unterschied liegt, es fehlte nur ein Anstoß...
Viele Grüße
Astrid
|
|
|
|
