reelle Lösung einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mi 05.03.2008 | | Autor: | JuliaKa |
| Aufgabe | | Man gebe die allgemeine reelle Lösung der DGL y^ [mm] (2)+y=2e^t [/mm] |
Erstmal hallo zusammen!
Kurz erstmal noch vorweg damit ich euch mit der Aufgabenstellung nicht verwirre: das y^ (2) bedeutet die zweite Ableitung von y. Habs leider nicht besser hinbekommen...
Ja, leider komme ich nicht mit dieser Aufgabe zurecht. Hab auch den dicken Papula hier liegen aber grade zu solch einer Variation wird keine Lösung angeboten.
Ich weiß wohl, dass man halt zuerst den homogenen Teil ausrechnet. Also y^(2)+y=0. Aber ab da bin ich mir schon total unsicher. Ich würde das denn so mit Lambda machen, also [mm] L^2+y=0, [/mm] bzw. L=-/wurzel{y} aber das ist ja irgendwie falsch.
In meiner zu kurzen Musterlösung steht, dass die homogene Gleichung eine so genannte Schwingungsgleichung ist.
Meine konkrete Frage dazu: woher weiß ich das? Muss man das wissen? Sieht man das an irgendwas?
Desweiteren steht dort noch, dass die reellen Lösungen der homogenen DGL c1cos t + c2cos t sind.
Da weiß ich auch nicht woher man das wissen soll.
Naja, schwieriges Thema, hoffentlich kann mir jemand von euch helfen :)
Bis dahin, Grüße, Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mi 05.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
y''+y=0 oder y''=-y
Gesucht eine Funktion, deren zweite Ableitung wieder die Funktion ist.
Wenn du in dem ungeheuren ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") Vorrat der dir bekannten Funktionen suchst, stellst du fest: [mm] x^n [/mm] oder ne Kombination davon kanns nicht sein. [mm] e^{ax} [/mm] geht auch nicht, weil die zweite Ableitung das gleiche Vorzeichen hat!
bleibt sinax, cosax (viel größer dürfte doch dein Vorrat an bekannten fkt nicht sein. und siehe da [mm] (sinax)''=-a^2*sinax [/mm] und [mm] (cosax)''=-a^2*cosax.
[/mm]
Also hast du für DGL der Form y''=-ky (k>0) nur den Ansatz :
y=A*sinax +B*cosax einsetzen, und in deinem Fall a=1 rauskriegen.
Zweite Möglichkeit: du kennst komplexe Funktionen. Dann machst dus mit dem Ansatz [mm] y=e^{\lambda*x} [/mm] und erhälst [mm] \lambda^2=-1 \lambda_1=i \lambda_2=-i
[/mm]
und [mm] y=A*e^{ix}+B*e^{-ix}
[/mm]
und benutzest [mm] e^{ix}=cosx+isinx
[/mm]
Dann nimmst du den Realteil der Lösung. Ergebnis: dasselbe
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mi 05.03.2008 | | Autor: | JuliaKa |
Stimmt, du hast recht! Jetzt ist es auch logisch! Vielen Dank und noch einen schönen Abend :)
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