reelle Lösung einer Gleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Mo 13.11.2006 | | Autor: | uxo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Parameter a und b die reelle Lösung der Gleichung:
[mm] a*e^{-2x}+b*e^{-x} [/mm] = 0 |
Hallo liebe Mitglieder!
Ich habe obige Gleichung wie folgt gelöst:
Umformung: [mm] \bruch{a}{(e^x)^2}+\bruch{b}{e^x} [/mm] = 0 [mm] /*e^x
[/mm]
[mm] \bruch{a}{e^x}+b [/mm] = 0
[mm] \bruch{a}{e^x} [/mm] = -b
[mm] e^x = - \bruch{a}{b} [/mm] [mm] /*ln [/mm]
[mm] x = - ln \bruch{a}{b} [/mm]
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Meine Frage ist nun: ist mein letzter Schritt zulässig?
Denn mir ist schon klar, daß grundsätzlich der ln einer negativen Zahl keine reelle Lösung hat.
Oder muß ich eine Fallunterscheidung machen für a<0 oder b<0 ?
Liebe Grüße,
uxo.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
gehen wir das mal Schritt für Schritt durch:
$ [mm] \bruch{a}{(e^x)^2}+\bruch{b}{e^x} [/mm] = 0 [mm] |\cdot e^{x}$ [/mm] Das ist ok.
$ [mm] \bruch{a}{e^x}+b [/mm] = 0 | -b $ Auch ok.
$ [mm] \bruch{a}{e^x} [/mm] = -b | [mm] \cdot e^x$ [/mm] 1. Teilschritt ok.
$a = [mm] (-b)\cdot e^x [/mm] | :(-b)$ 2. Teilschritt: Du möchtest durch (-b) teilen. Es könnte aber sein, dass b=0 ist!!! Also Fallunterscheidung:
Fall 1: [mm] $b\not= [/mm] 0$
Dann darfst du teilen:
[mm] $e^x [/mm] = [mm] -\bruch{a}{b}$
[/mm]
Nun möchtest du logarithmieren. Dies darfst du aber nur, wenn der Logarithmand positiv ist!!! Also eine weitere Fallunterscheidung:
Fall 1A: $a>0 [mm] \wedge [/mm] b<0 [mm] \vee [/mm] a<0 [mm] \wedge [/mm] b>0$:
Dann darfst du logarithmieren:
$x = [mm] \ln\left(-\bruch{a}{b}\right)$
[/mm]
Fall 1B: [mm] $a\le [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] b<0 [mm] \vee a\ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] b>0$:
Hier darfst du nicht logarithmieren. Es gibt keine Lösung, weil die Exponentialfunktionen alle Zahlen auf positive Zahlen abbildet. Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir aber eine nichtpositive Zahl stehen!
Fall 2: $b=0$:
Jetzt steht da: $a = 0$
Die nächste Fallunterscheidung sagt uns dann, dass für $a=0$ die Gleichung allgemeingültig ist und für [mm] $a\not= [/mm] 0$ unerfüllbar.
Nochmal in aller Kürze alle Fälle:
$a>0 [mm] \wedge [/mm] b<0 [mm] \vee [/mm] a<0 [mm] \wedge [/mm] b>0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \ln\left(-\bruch{a}{b}\right)$
[/mm]
$a=0 [mm] \wedge [/mm] b=0 [mm] \Rightarrow [/mm] $Gleichung allgemeingültig
sonst [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Gleichung unerfüllbar
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Mo 13.11.2006 | | Autor: | uxo |
Danke vielmals Martin243 für die schnelle, klare und akkurate Hilfe!
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