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| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen a und b hat die Gleichung [mm] x^{2}-2x-(a+ib)(i-1)=0 [/mm] nur reelle Lösungen? |
Hallo liebe Kolleginnen und Kollegen!
Ich habe folgende Frage zum Beispiel:
Mein Lösungansatz wäre mal so: Ich betrachte den "letzten Teil", also (a+ib)(i-1). Wenn man das ausrechnet, sieht man relativ schnell, dass a=b sein muss.
Das verwende ich dann, und bei der Lösung der sich ergebenden quadratischen Gleichung steht dann: [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] 1\pm \wurzel{1+a+b}.
[/mm]
Diesen Wurzelausdruck hab ich größer gleich 0 gesetzt und erhalte, da a=b: [mm] a\ge-0,5.
[/mm]
Ich habe aber irgendwie ein etwas ungutes Gefühl, dass dieser Lösungsweg nicht korrekt ist, irgendwie wirkt das alles etwas "gebastelt" für mich.
Es wäre super, wenn mir jemand (möglichst bald, denn ich verzweifle schon daran; aber ich will nicht unverschämt wirken!) helfen könnte!
Danke im Voraus,
lg Georg
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Hallo,
> Für welche reellen Zahlen a und b hat die Gleichung
> [mm]x^{2}-2x-(a+ib)(i-1)=0[/mm] nur reelle Lösungen?
> Hallo liebe Kolleginnen und Kollegen!
>
> Ich habe folgende Frage zum Beispiel:
> Mein Lösungansatz wäre mal so: Ich betrachte den
> "letzten Teil", also (a+ib)(i-1). Wenn man das ausrechnet,
> sieht man relativ schnell, dass a=b sein muss. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das verwende ich dann, und bei der Lösung der sich
> ergebenden quadratischen Gleichung steht dann:
[mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]1\pm \wurzel{1\red-a\red-b}.[/mm]
> Diesen Wurzelausdruck hab ich
> größer gleich 0 gesetzt und erhalte, da a=b: [mm]a\ge-0,5.[/mm]
prinzipiell würde ich das genauso machen, nur der Vorzeichenfehler oben, [mm] \Rightarrow [/mm] a<0,5
> Ich habe aber irgendwie ein etwas ungutes Gefühl, dass
> dieser Lösungsweg nicht korrekt ist, irgendwie wirkt das
> alles etwas "gebastelt" für mich.
warum?
> Es wäre super, wenn mir jemand (möglichst bald, denn ich
> verzweifle schon daran; aber ich will nicht unverschämt
> wirken!) helfen könnte!
>
> Danke im Voraus,
> lg Georg
Gruss Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Di 13.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Auf den Vorzeichenfehler hat Christian Dich schon aufmerksam gemacht.
Du kannst es ganz systematisch machen:
1. $ [mm] x^{2}-2x-(a+ib)(i-1)=0 [/mm] $ [mm] \gdw
[/mm]
(*) [mm] $x^2-2x+a+b= [/mm] i(a-b)$
2. Behauptung: (*) hat nur reelle Lösungen [mm] \gdw [/mm] b=a und a< 1/2
Beweis:
a) (*) habe nur reelle Lösungen. sei [mm] x_0 [/mm] eine solche. Dann gilt
(**) [mm] $x_0^2-2x_0+a+b= [/mm] i(a-b)$
Links in (**) steht eine relle Zahl, also muß auch $ i(a-b)$ reell sein. Es folgt:
a=b und [mm] $x_0^2-2x_0+a+b=0$
[/mm]
Die pq-Formel liefert dann: a<1/2
b) Sei a=b und a<1/2. Ist [mm] z_0 [/mm] eine Lösung von (*), so gilt [mm] $z_0^2-2z_0+a+b= [/mm] 0$. Mit a<1/2 und der pq-Formel sieht man: [mm] z_0 \in \IR
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Di 13.04.2010 | | Autor: | zim_georg |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Di 13.04.2010 | | Autor: | zim_georg |
Sorry, ich habe vorher den falschen Mitteilungstyp ausgewählt und kann das jetzt nicht mehr löschen :-(
jedenfalls nochmals vielen Dank!
lg Georg
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