reelle/komplexe Diff.barkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mo 24.11.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} [/mm] definiert durch
[mm] f(x+iy)=\sin\ x^2 +\frac{i}{1+x^2+y^2}\, (x,y\in\mathbb{R})
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass $f$ reell differenzierbar ist.
(b) Berechnen Sie [mm] f_z [/mm] und [mm] f_{\overline{z}}, [/mm] indem Sie
- die Ableitungen mit Hilfe von Transformationsformeln bestimmen,
- die Funktionswerte $f(x+iy)$ durch $z$ und [mm] $\overline{z}$ [/mm] ausdrücken und formal nach diesen "Variablen" ableiten. |
Hallo zusammen,
wäre nett, wenn jemand meine Lösungsansätze kommentieren könnte.
zu (a): die Funktion ist ja bereits in der Form f=u+iv gegeben, und da sowohl sin [mm] x^2 [/mm] als auch die rationale Funktion stets in [mm] z_0\in\mathbb{C}reell [/mm] differenzierbar sind, ist auch f reell differenzierbar.
zu (b): würde die Ableitungen mit den Formeln:
[mm] \frac{\partial f}{\partial z}=1/2(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})
[/mm]
bzw.
[mm] \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=1/2(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})
[/mm]
bestimmen.
In der zweiten Variante muss ich versuchen, die Variablen $x+iy$ durch $z$ bzw. [mm] $\overline{z}$ [/mm] zu ersetzen, aber wie kriege ich diese Umformung hin? Sehe nicht wirklich, wie ich insb. die Sinus-Funktion umformen kann.
Vielen Dank für Eure Hilfe und viele Grüße!
Gregor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Di 25.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Gregor!
> Sei [mm]f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}[/mm] definiert durch
> [mm]f(x+iy)=\sin\ x^2 +\frac{i}{1+x^2+y^2}\, (x,y\in\mathbb{R})[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] reell differenzierbar ist.
> (b) Berechnen Sie [mm]f_z[/mm] und [mm]f_{\overline{z}},[/mm] indem Sie
> - die Ableitungen mit Hilfe von Transformationsformeln
> bestimmen,
> - die Funktionswerte [mm]f(x+iy)[/mm] durch [mm]z[/mm] und [mm]\overline{z}[/mm]
> ausdrücken und formal nach diesen "Variablen" ableiten.
> Hallo zusammen,
>
> wäre nett, wenn jemand meine Lösungsansätze kommentieren
> könnte.
>
> zu (a): die Funktion ist ja bereits in der Form f=u+iv
> gegeben, und da sowohl sin [mm]x^2[/mm] als auch die rationale
> Funktion stets in [mm]z_0\in\mathbb{C}reell[/mm] differenzierbar
> sind, ist auch f reell differenzierbar.
>
> zu (b): würde die Ableitungen mit den Formeln:
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial z}=1/2(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=1/2(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})[/mm]
>
> bestimmen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In der zweiten Variante muss ich versuchen, die Variablen
> [mm]x+iy[/mm] durch [mm]z[/mm] bzw. [mm]\overline{z}[/mm] zu ersetzen, aber wie kriege
> ich diese Umformung hin? Sehe nicht wirklich, wie ich insb.
> die Sinus-Funktion umformen kann.
Es ist doch $z=x+iy$, [mm] $\overline{z} [/mm] = x-iy$, also
[mm] x = \bruch{1}{2} (z+\overline{z}) [/mm], [mm] y = \bruch{1}{2i} (z-\overline{z}) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
