reelle symmetrische Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Sa 23.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Sei A eine reelle symmetrische Matrix. Man beweise, dass [mm] e^{A} [/mm] symmetrisch und positiv definit ist. |
Zu zeigen, dass [mm] e^{A} [/mm] symmetrisch ist, war nicht so ein Problem.
Habe gezeigt, dass [mm] e^{A} [/mm] = [mm] (Pe^{D}P^t)^t [/mm] ist.
Wobei P eine orthogonale Matrix ist und D eine Diagonalmatrix.
Doch um zu zeigen, dass [mm] e^{A} [/mm] positiv definit ist, hatte ich ein wenig mehr Mühe.
Es gilt ja, dass [mm] e^{A} [/mm] = [mm] (Pe^{D}P^t) [/mm] ist. Es ist klar, das [mm] e^{D} [/mm] positiv definit ist (Hauptminoren-Kriterium). Doch weshalb ist dann auch [mm] (Pe^{D}P^t) [/mm] positiv definit? Bleibt also die "positiv definitheit" einer Matrix durch Dranmultiplikation von P und [mm] P^t [/mm] erhalten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Sa 23.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Könntest über die Eigenwerte gehen. Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn sie nur positive Eigenwerte hat (das ist ja die Definition von "positiv definit"). Und ähnliche Matrizen haben dieselben Eigenwerte (also haben [mm] e^D [/mm] und [mm] P*e^D*P^{-1} [/mm] dieselben Eigenwerte).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Sa 23.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
Ja genau, das ist natürlich auch eine Möglichkeit. Vielen Dank.
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Hallo,
seh ich das richtig, dass man hier annimmt, dass die Matrix diagonalisierbar ist? Ist das impliziert durch die Vorraussetzungen oder Versehen?
Danke,
benevonmattheis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Sa 23.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
eine reelle, symmetrische Matrix ist immer diag-bar. Siehe zb ![[]](/images/popup.gif) hier:
LG
Kroni
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