reelles Intervall Norm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:47 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Für ein reelles Intervall $\left[a,b\right]$ setze $C\left[a,b\right] = \{f:\left[a,b\right] \rightarrow \IR | f stetig \right}$ und für $f \in C\left[ a,b \right]$ definiere
$||f||_{0}=sup\{|f(x)| ~ | x \in \left[a,b\right] \right}$ und $||f||_{1}=\integral_{a}^{b}|f(x)|dx|$
a) Man zeige, dass $||\cdot||_{0}$ und $||\cdot||_{1}$ Normen auf $C\left[a,b\right]$ sind.
b) Man zeige, dass $C\left[a,b\right]$ mit der Norm $||\cdot||_{0}$ vollständig ist |
Hallo,
a) $||\cdot ||_{0}$ ist eine Norm:
1. $sup\{|f(x)| \} \ge 0 ~ \forall x \in \left[a,b \right]$
2.$sup\{|\lambda f(x)| \} = |\lambda|sup\{|f(x)|\} ~ \forall \lambda \in \IR \ x \in \left[a,b \right]$
3. $sup\{|f(x+y)| \} \le sup\{|f(x)| \}+ sup\{|f(y)| \} ~ \forall x,y \in \left[a,b\right]$
$||x||_{2}$ ist eine NOrm:
1.\integral_{a}^{b}|f(x)|dx \ge 0 ~ ~ \forall x \in \left[a,b\right]$
2. $\integral_{a}^{b} |\lambda f(x)|dx = |\lambda| \integral_{a}^{b}|f(x)|dx ~~ \forall \lambda \in \IR, ~ \forall x \in \left[a,b \right]$
3.$\integral_{a}^{b}|f(x+y)|d(x+y) \le \integral_{a}^{b}|f(x)|dx+ \integral_{a}^{b}|f(y)|dy ~ ~ \forall x,y \in \left[a,b \right]$
Stimmt das so weit?
b) $C\left[a,b\right]$ ist zu zeigen dass es ein Banachraum ist und dazu muss mit der Norm $||\cdot||_{0}$ jede Cauchy Folge mit Punkten aus $C\left [a,b\right]$ gegen einen Punkt aus $C\left[a,b \right]$ konvergieren.
Beweis:
Sei $x_{k} \in C \left[a,b \right] $ eine Cauchy Folge mit $\limes_{k\rightarrow \infty} = a$, mit $a \in C\left[a,b \right]$, dann :
$\exists \epsilon>0 ~ ~\forall N\in \IN : ||x_{k}-a||<\epsilon ~ \forall n>N $
Hier stecke ich fest. Wie komme ich weiteR?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo,
bevor es hier losgeht, solltest Du nochmal notieren, wie "Norm" definiert ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Definition einer Norm
Ein Raum ist normiert wenn für ihn die 3 Axiome [mm] $\ge [/mm] 0$, [mm] $\lambda$ [/mm] rein = [mm] $\lambda$ [/mm] raus und die Erfüllung der Dreiecksungleichung gelten ?
> GruB
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo
>
> > Definition einer Norm
>
> Ein Raum ist normiert wenn für ihn die 3 Axiome [mm]\ge 0[/mm],
> [mm]\lambda[/mm] rein = [mm]\lambda[/mm] raus und die Erfüllung der
> Dreiecksungleichung gelten ?
>
Bis auf die Tatsache, daß mit "[mm]\lambda[/mm] rein = [mm]\lambda[/mm] raus"
vielleicht die Homogenität gemeint sein könnte, ist das Ok.
>
>
> > GruB
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> bis auf homogenität
Ok!
Meine Definitionen stimmen, was ist dann falsch beim Zeigen der Erfüllung der Axiome?
> Gruss
Danke
Gruss
Mathepower
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Huhu,
du hast bisher zwar schön hingeschrieben, was du zeigen müsstest, gezeigst hast du bisher aber noch nichts.
Nehmen wir die erste Norm:
> 1. $ [mm] sup\{|f(x)| \} \ge [/mm] 0 ~ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \left[a,b \right] [/mm] $
erste Anmerkung: [mm] $\sup\{|f(x)| \}$ [/mm] hängt gar nicht mehr von x ab, also macht die Angabe $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \left[a,b \right] [/mm] $ gar keinen Sinn.
Ich behaupte nun:
$ [mm] \sup\{|f(x)| \} \le [/mm] 0$
Wieso sollte dein richtiger sein als meins? Desweiteren fehlt hier $||f|| = 0 [mm] \;\gdw\; [/mm] f = 0$
> 2.$ [mm] sup\{|\lambda f(x)| \} [/mm] = [mm] |\lambda|sup\{|f(x)|\} [/mm] ~ [mm] \forall \lambda \in \IR [/mm] \ x [mm] \in \left[a,b \right] [/mm] $
Die gleichen Anmerkungene hier wie bei 1.
3. $ [mm] sup\{|f(x+y)| \} \le sup\{|f(x)| \}+ sup\{|f(y)| \} [/mm] ~ [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \left[a,b\right] [/mm] $
Hier ist ein noch gravierenderer Fehler drin!
Du sollst hier für 2 Elemente des VR zeigen, dass die Dreiecksungleichung gilt! Deine Vektoren hier sind doch Funktionen. Da hat das y gar nix drin zu suchen.
D.h. du musst zeigen $||f + g|| [mm] \le [/mm] ||f|| + ||g||$
Und auch das bitte mit Begründung.
MFG,
Gono.
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> Hallo
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> > Definition einer Norm
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> Ein Raum ist normiert wenn für ihn die 3 Axiome [mm]\ge 0[/mm],
> [mm]\lambda[/mm] rein = [mm]\lambda[/mm] raus und die Erfüllung der
> Dreiecksungleichung gelten ?
Hallo,
ich hatte mir eigentlich vorgestellt, daß Du die Definition der Norm hier mal richtig aufschreibst, damit man mit Deinem Tun vergleichen kann und Du Deine Fehler möglicherweise selbst entdeckst.
Offenbar ist Dir die erste der Bedingungen nicht vollumfänglich klar, jedenfalls deutet Dein Lösungsansatz darauf hin.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:17 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> > Definition einer Norm
>
> Ein Raum ist normiert wenn für ihn die 3 Axiome [mm]\ge 0[/mm],
> [mm]\lambda[/mm] rein = [mm]\lambda[/mm] raus und die Erfüllung der
> Dreiecksungleichung gelten ?
Fast. Korrekt in der kush-kush-Schnellnotation: [mm]\lambda[/mm] rein = [mm]|\lambda|[/mm] raus
Und es fehlt: ||x||=0 [mm] \gdw [/mm] x=0
FRED
>
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>
> > GruB
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
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