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Forum "Diskrete Mathematik" - reflex.&sym. Relationen
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reflex.&sym. Relationen: Kontrolle&Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Di 11.07.2006
Autor: Raingirl87

Aufgabe
Es sei M={1,2,...,n}.
(i) Wieviele reflexive Relationen gibt es auf M?
(ii) Wieviele symmetrische Relationen gibt es auf M?

Hallo!

Reflexive Relationen sind es [mm] \bruch{n}{2} [/mm] , oder? Aber wieviel symmetrische Relationen sind es? Wie bekomme ich das denn raus?

Danke!

Raingirl87

        
Bezug
reflex.&sym. Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Di 11.07.2006
Autor: mathiash

Hallo,

also schon die Zahl der reflexiven Relationen stimmt wohl nicht ganz.

[mm] R\subseteq\{1,\ldots\ } [/mm]

heisst ja reflexiv genau dann, wenn
[mm] \forall i\in \{1,\ldots , n\}\:\: (i,i)\in [/mm] R.

Dann kannst Du aber für jedes der [mm] n^2-n [/mm] weiteren Paare (x,y) noch separat festlegen, ob [mm] (x,y)\in [/mm] R oder nicht, so dass die
Anzahl dann

[mm] 2^{n^2-n} [/mm]

ist.

Bei den symmetrischen kann ich halt nur für 2er-Mengen (anstatt Paaren) sowie für die Paare (x,x) festlegen, ob sie drin sind oder nicht,
somit ergibt sich als Anzahl

[mm] 2^{\frac{n(n-1)}{2}+n} [/mm]

Gruss,

Mathias

Bezug
                
Bezug
reflex.&sym. Relationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:27 Mi 12.07.2006
Autor: Raingirl87

Irgendwie verstehe ich da nur Bahnhof. :(
Könntest du das evtl bissel genauer erklären, wie man da drauf kommt?

LG, Raingirl87

Bezug
                        
Bezug
reflex.&sym. Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:14 Mi 12.07.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Tag,

eine Relation [mm] R\subseteq\{1,\ldots ,n\}\times\{1,\ldots n\} [/mm]

ist doch dadurch bestimmt, welche Paare (x,y) sie enthält. Wenn Du zB nach der Anzahl aller solchen Relationen fragst,
so hast Du für jedes der [mm] n^2 [/mm] Paare (x,y) die beiden Möglichkeiten [mm] (x,y)\in [/mm] R und [mm] (x,y)\not\in [/mm] R, insgesamt gibt es also
[mm] 2^{n^2} [/mm] solche Relationen.

Analog geht es dann bei Deiner Aufgabe.

Gruss,

Mathias

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