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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Di 26.02.2008 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo!
Es sei [mm] R=\{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \}
[/mm]
Ist R reflexiv, symmetrisch, transitiv? |
zu R ist reflexiv.
Beh.: ja
zu zeigen: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{2} \exists [/mm] (x,x) [mm] \in [/mm] R
also:
[mm] \{(x,x)\in\IR^{2}|x-x>-1 \}
[/mm]
Für beliebiges x ist die Aussage erfüllt, da x-x stets = 0 ergibt und 0 >-1.
also ist R reflexiv.
zu R ist symmetrisch:
Beh.: nein!
zu zeigen: Wenn (x,y) [mm] \in [/mm] R dann auch (y,x) [mm] \in [/mm] R
also:
[mm] \{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \} [/mm] und [mm] \{(y,x)\in\IR^{2}|y-x>-1 \} [/mm]
Bsp.: wähle x=4 und y=2
für [mm] \{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \} [/mm] gilt also:
4-2>-1 (w)
für [mm] \{(y,x)\in\IR^{2}|y-x>-1 \} [/mm] gilt aber:
2-4>-1 (f)
R ist also nicht symmetrisch.
zu R ist transitiv:
Beh.: ja
zu zeigen: (x,y) [mm] \in [/mm] R und (y,z) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (x,z) [mm] \in [/mm] R
also:
[mm] \{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \} [/mm] und [mm] \{(y,z)\in\IR^{2}|y-z>-1 \} [/mm]
[mm] \Rightarrow \{(x,z)\in\IR^{2}|x-z>-1 \}
[/mm]
Wie gehts denn nun hier weiter?
Ich dachte an sowas:
Wenn x>y und y>z dann auch x>z, weiß aber nicht, wie ich das für die Aufgabe anwenden soll, oder am besten hinschreiben soll.
Wer kann mir helfen?
Gruß, Ralf
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 26.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Es sei [mm]R=\{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \}[/mm]
>
> Ist R reflexiv, symmetrisch, transitiv?
> zu R ist reflexiv.
> Beh.: ja
>
> zu zeigen: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^{2} \exists[/mm] (x,x) [mm]\in[/mm] R
Du meinst das richtige, aber formal steht das total falsch da. Zu zeigen ist:
Für jedes [mm] $\underline{x \in \IR}$ [/mm] werden wir zeigen, dass [mm] $\underbrace{(x,x)}_{\in \IR^2} \in [/mm] R$ gilt
> also:
> [mm]\{(x,x)\in\IR^{2}|x-x>-1 \}[/mm]
Was soll das heißen? Da steht eine Menge, und dabei steht keine Aussage. Du meinst vielleicht, Du willst zeigen:
[mm] $\{(x,x) \in \IR^2: x \in \IR\} \subset [/mm] R$?
> Für beliebiges x ist die Aussage erfüllt, da x-x stets = 0
> ergibt und 0 >-1.
> also ist R reflexiv.
Ja, genau:
Für beliebiges $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass $x-x=0 > -1$, was zur Folge hat, dass $(x,x) [mm] \in [/mm] R$.
> zu R ist symmetrisch:
> Beh.: nein!
> zu zeigen: Wenn (x,y) [mm]\in[/mm] R dann auch (y,x) [mm]\in[/mm] R
> also:
> [mm]\{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \}[/mm] und [mm]\{(y,x)\in\IR^{2}|y-x>-1 \}[/mm]
Ähm, abgsehen davon, dass auch hier die letzten beiden Mengen einfach nur Mengen sind, und Du zu denen keine Aussage triffst:
Du willst doch nicht zeigen, dass $R$ symmetrisch ist, sondern widerlegen. Zu widerlegen ist also:
Es gilt nicht für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] R$, dass auch $(y,x) [mm] \in [/mm] R$.
(Wenn Du das ganze formal mit Mengen ausdrücken willst:
Um zu zeigen, dass $R$ symmetrisch wäre, hätte man folgende Mengengleichheit zu zeigen:
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2: xRy\}=\{(r,s) \in \IR^2: sRr\}$ [/mm] bzw.:
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2: x-y > -1\}=\{(r,s) \in \IR^2: s-r > -1\}$
[/mm]
Und genau diese Mengengleichheit hast Du widerlegt (denn: $(4,2)$ ist in der letzten Menge links des Gleichheitszeichen, aber $(4,2)$ ist NICHT in der Menge rechts des Gleichheitszeichens!).)
> Bsp.: wähle x=4 und y=2
>
> für [mm]\{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \}[/mm] gilt also:
> 4-2>-1 (w)
>
> für [mm]\{(y,x)\in\IR^{2}|y-x>-1 \}[/mm] gilt aber:
> 2-4>-1 (f)
Auch hier ist das formal schlecht ausgedrückt. Sei also $x=4$ und $y=2$. Dann gilt einerseits $x-y=2 > -1$ und daher $(x,y)=(4,2) [mm] \in [/mm] R$, andererseits gilt aber $y-x=2-4=-2 < -1$ und daher $(y,x)=(2,4) [mm] \notin [/mm] R$.
(Du kannst es auch so ausdrücken, wie Du es wolltest:
$(4,2)=(x,y) [mm] \in [/mm] R$ wegen $x-y=4-2=2 > -1$, aber wäre $(2,4)=(y,x) [mm] \in [/mm] R$, so hätte das $y-x=2-4 > -1$ zur Folge, was aber nicht sein kann, da $y-x=2-4=-2 < -1$.
Wichtig ist halt: Für $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] gilt: $(r,s) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] r-s > -1$)
> R ist also nicht symmetrisch.
Genau.
>
> zu R ist transitiv:
> Beh.: ja
> zu zeigen: (x,y) [mm]\in[/mm] R und (y,z) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (x,z)
> [mm]\in[/mm] R
>
> also:
>
> [mm]\{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \}[/mm] und [mm]\{(y,z)\in\IR^{2}|y-z>-1 \}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \{(x,z)\in\IR^{2}|x-z>-1 \}[/mm]
>
> Wie gehts denn nun hier weiter?
>
> Ich dachte an sowas:
> Wenn x>y und y>z dann auch x>z, weiß aber nicht, wie ich
> das für die Aufgabe anwenden soll, oder am besten
> hinschreiben soll.
Also den Kommentar zu Deiner aussagenfreien Mengennotation erspare ich mir nun, ich denke, Du erkennst das nun selbst, dass Du einfach nur Mengen ohne jede Aussagekraft hinschreibst, oder?
Die Frage ist hier nun:
Wenn $xRy$ und $yRz$, gilt dann auch zwangsläufig $xRz$?
(Bzw.: Folgt aus $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ und $(y,z) [mm] \in [/mm] R$, dass $(x,z) [mm] \in [/mm] R$?)
Wenn man das umschreibt:
$(x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] x-y > -1$, $(y,z) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] y-z > -1$.
Nun gilt:
$(x,z) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] x-z > -1$.
Weiterhin:
$x-z=x-y+y-z$
Mit diesen Wissen liegt es eigentlich nahe, zu schauen, was passiert denn hier, wenn $x-y$ und $y-z$ beide sehr nahe bei $-1$ liegen.
Also:
Setze mal $x=0$, $y=0,8$ und $z=1,6$. Hier gelten:
(1) $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ (Warum?)
(2 )$(y,z) [mm] \in [/mm] R$ (Warum?)
(3) $(x,z) [mm] \notin [/mm] R$ (Warum?)
Also:
Ist $R$ wirklich transitiv?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Di 26.02.2008 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Erstmal Danke für deine Hilfe.
Ich sehe jetzt auch ein, das R nicht transitiv ist (Dein Gegenbeispiel zeigt ja, das die Ungleichung innerhalb der Relation für x-z>-1 nicht erüllt wird)
Aber wie wäre es denn, wenn statt
[mm] R=\{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \}
[/mm]
die Relation [mm] R2=\{(x,y)\in\IN^{2}|x-y>-1 \} [/mm]
lauten würde? |
Dann bringt es ja nix, Werte um die 0 zu wählen, oder?
Ist dann R2 nicht sogar transitiv? Aber wie argumentiere ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 26.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal Danke für deine Hilfe.
>
> Ich sehe jetzt auch ein, das R nicht transitiv ist (Dein
> Gegenbeispiel zeigt ja, das die Ungleichung innerhalb der
> Relation für x-z>-1 nicht erüllt wird)
>
> Aber wie wäre es denn, wenn statt
> [mm]R=\{(x,y)\in\IR^{2}|x-y>-1 \}[/mm]
> die Relation
> [mm]R_2=\{(x,y)\in\IN^{2}|x-y>-1 \}[/mm]
> lauten würde?
> Dann bringt es ja nix, Werte um die 0 zu wählen, oder?
> Ist dann [mm] R_2 [/mm] nicht sogar transitiv? Aber wie argumentiere
> ich das?
das ist eigentlich auch ganz einfach. Man muss sich nur folgende Eigenschaft klarmachen:
[mm] $(\*)$ [/mm] Für natürliche Zahlen $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
$m > n-1 [mm] \gdw [/mm] m [mm] \ge [/mm] n$.
Dabei ist die Folgerung $m [mm] \ge [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] m > n-1$ trivial wegen $n > n-1$. Bei der Folgerung $m > n-1 [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \ge [/mm] n$ muss man sich bewusst sein, dass man es mit natürlichen Zahlen zu tun hat:
Gelte also $m > n-1$. Wegen $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist $n-1 [mm] \in \IN_0$, [/mm] und weil $m > n-1$ und $m [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, muss also $m [mm] \ge [/mm] n'$ sein, wobei $n'=(n-1)+1$ die auf $(n-1)$ nächstfolgende natürliche Zahl ist. Also gilt $m [mm] \ge [/mm] n$.
Damit folgt nun:
Sind $(x,y)$, $(y,z)$ [mm] $\in \IN^2$ [/mm] mit $x-y > -1$ und $y-z > -1$ (d.h. nichts anderes als $(x,y), (y,z) [mm] \in R_2$), [/mm] so folgt daraus wegen [mm] $(\*)$ [/mm] (Richtung [mm] $\Rightarrow$), [/mm] dass
$x [mm] \ge [/mm] y$ und $y [mm] \ge [/mm] z$ gilt.
Diese beiden Ungleichungen implizieren aber:
$x [mm] \ge [/mm] z$.
Nun gilt also $x,z [mm] \in \IN$ [/mm] und $x [mm] \ge [/mm] z$, was wegen [mm] $(\*)$ [/mm] (Richtung [mm] $\Leftarrow$) [/mm] dann $x > z-1$ zur Folge hat, was insgesamt dann also heißt:
$(x,z) [mm] \in \IN^2$ [/mm] mit $x-z > -1$
Damit gilt dann also auch $(x,z) [mm] \in R_2$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
Gruß
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