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Forum "Uni-Lineare Algebra" - reguläre Matrix und diag.Gest.
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reguläre Matrix und diag.Gest.: Richtig ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Mi 02.02.2005
Autor: DeusRa

Hallo

Habe folgende Aufgabe erhalten:
Also:
A= [mm] \pmat{ -9 & 2 & 6 \\ 5 & 0 & -3 \\ -16 & 4 & 11 } [/mm]

Geben Sie eine reguläre Matrix T so an, dass T-1*A*T diagnoal Gestalt hat.

Ich habe folgendes raus:

T= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & -1 \\ 4 & 2 & 3} [/mm]
T-1= [mm] \pmat{ -\bruch{1}{3} & 1 & \bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3} & -2 & -\bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} & 0 & -\bruch{1}{3}} [/mm]

Also kommt bei mir für T-1*A*T = [mm] \pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 0 & \bruch{2}{3} & -2 \\ 8 & 4 & 5} [/mm]

Ist das richtig ? Wenn nicht, wo ist mein Rechenfehler ?

        
Bezug
reguläre Matrix und diag.Gest.: Diagonalgestalt!?!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:33 Mi 02.02.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
>  Also:
>  A= [mm]\pmat{ -9 & 2 & 6 \\ 5 & 0 & -3 \\ -16 & 4 & 11 } [/mm]
>  
> Geben Sie eine reguläre Matrix T so an, dass
> T-1*A*T diagnoal Gestalt hat.
>  
> Ich habe folgendes raus:
>  
> T= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & -1 \\ 4 & 2 & 3} [/mm]
>  
> T-1= [mm]\pmat{ -\bruch{1}{3} & 1 & \bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3} & -2 & -\bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} & 0 & -\bruch{1}{3}} [/mm]
>  
>
> Also kommt bei mir für T-1*A*T = [mm]\pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 0 & \bruch{2}{3} & -2 \\ 8 & 4 & 5} [/mm]
>  
>
> Ist das richtig ? Wenn nicht, wo ist mein Rechenfehler ?

Heißt Diagonalgestalt denn nicht, dass nur noch auf der Diagonalen Einträge [mm] \not=0 [/mm] stehen? Dann kann deine Lösung ja gar nicht richtig sein. Aber wo dein Rechenfehler liegt, können wir dir erst sagen, wenn du uns mal deinen Rechenweg vorführst. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[banane]
  

Bezug
        
Bezug
reguläre Matrix und diag.Gest.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Do 03.02.2005
Autor: Julius

Hallo!

Was musst du also tun?

Erst einmal musst du die Eigenwerte von $A$ ausrechnen.

(Zur Kontrolle: Diese sind $-1$, $1$ und $2$.)

Die Diagonalmatrix kannst du dann so wählen:

$D= [mm] \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. [/mm]

So, wie kommst du jetzt auf $T$?

Bestimme zu allen drei Eigenwerten einen Eigenvektor und schreibe die Koordinaten als Spaltenvektoren in eine Matrix. Diese Matrix nennst du $T$.

Führe das mal durch (melde dich bitte wieder, wenn du Fragen zum Vorgehen hast) und teile uns deine Ergebnisse zur Kontrolle mit, wenn du magst. :-)

Liebe Grüße
Julius

Bezug
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