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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{oo} \bruch{n^{n}}{x^{n}n!} x\in \IR [/mm] \ {0}
für welche x [mm] \not= [/mm] ist die reihe konvergent , abs. konvergent oder divergent?
tipp
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{\wurzel{(2 \pi n}(n/e)^{n}}
[/mm]
Falls x=-e benutze [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] < e |
kann man diese Reihe als potenzreihe darstellen, also 1/x als z wählen?
ich hab schon so lange an der aufgabe herumprobiert, aber irgendwie kann ich nie die tipps anwenden..... hat jm einen tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, Du kannst z=1/x substituieren und dann erhälst Du mit Cauchy-Hadamard Ergebnisse für z (und damit für 1/x), wann die Reihe (absolut) konvergiert und wann sie divergiert. Du kannst aber auch einfach sofort mit dem Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium arbeiten:
Falls [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{abs(x)*\wurzel[n]{n!}} [/mm] < 1, so konvergiert die Reihe, falls [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{abs(x)*\wurzel[n]{n!}} [/mm] > 1, so divergiert die Reihe.
Dazu musst Du natürlich explizit
[mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{abs(x)*\wurzel[n]{n!}}=\frac{1}{abs(x)} *\limsup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n^n}{n!}}
[/mm]
berechnen.
Ähnliches erhälst Du mit dem Quotientenkriterium. Und bitte beachte, dass der Satz von Cauchy-Hadamard ja eine unmittelbare Konsequenz aus dem Wurzelkriterium (bzw. dem Trivialkriterium) ist. Daher ist es eigentlich wichtiger, dass Du das Wurzelkriterium verstehst.
Am besten probierst Du die Aufgabe mal mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium anzugehen, dann siehst Du vll. auch, inwiefern der Tipp Dir hilft.
Und abs(x) meint den Betrag von x, ich finde gerade den FE nicht mehr...
Gruß,
Marcel
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, falls
> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{abs(x)*\wurzel[n]{n!}}[/mm]
> > 1, so divergiert die Reihe.
mein übungsgruppenleiter meinte, dass kann man nicht so einfach sagen..... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bei =1 hat man ein Problem. Bei > 1 ist die Folge der Summanden keine Nullfolge. Würde die Reihe dann konvergieren, so widerspräche das dem Trivialkriterium.
Und abs(x) soll der Betrag von x sein, habe ich ergänzt in dem anderen Beitrag. Bei den anderen Ausdrücken ist der Betrag egal, da die Ausdrücke alle >= 0.
Gruß,
Marcel
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Falls [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty} \bruch{|n|}{|(x)|*\wurzel[n]{|n!|}}[/mm]
< 1, so konvergiert die Reihe
hab jetzt mal einpaar betragsstriche ergänzt.... oder kann man die einfach weglassen....
,
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Falls [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty} \bruch{|n|}{|(x)|*\wurzel[n]{|n!|}}[/mm]
< 1, so konvergiert die Reihe
hab jetzt mal einpaar betragsstriche ergänzt.... oder kann
man die einfach weglassen....
oh gott. das ding sieht so was von übel aus... dieses ding wimmelt von wurzeln und betragsstrichen...und dann ist da noch nen fakultät drinn.... ich verstehe einfach nicht, wie ich das vereinfachen kann.... oo geteilt durch oo ist ja nicht definiert....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es gilt
[mm] $\wurzel[n]{|\bruch{n^n}{x^n *n!}|}=\bruch{1}{|x|}*\wurzel[n]{\bruch{n^n}{n!}}$
[/mm]
Ich hatte doch schon geschrieben, dass abs(x)=|x| sein soll.
Und wegen n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \bruch{n^n}{n!} \ge [/mm] 0 und damit auch [mm] \wurzel[n]{\bruch{n^n}{n!}} \ge [/mm] 0, also braucht man da keinen Betrag.
Übrigens:
Falls der limes existiert, so gilt limsup=lim. Daran sollte man hier auch denken.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> es gilt
> [mm]\wurzel[n]{|\bruch{n^n}{x^n *n!}|}=\bruch{1}{|x|}*\wurzel[n]{\bruch{n^n}{n!}}[/mm]
>
> Ich hatte doch schon geschrieben, dass abs(x)=|x| sein
> soll.
>
> Und wegen n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]\bruch{n^n}{n!} \ge[/mm] 0 und damit
> auch [mm]\wurzel[n]{\bruch{n^n}{n!}} \ge[/mm] 0, also braucht man da
> keinen Betrag.
>
hab vergessen, dass n [mm] \in \IN [/mm] ist... ;) dann kann man die betragsstriche ja zum teil hier weglassen :)
wenn ich den limes davon berechne kommt da raus
[mm] \bruch{1}{ \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!}} [/mm]
..
limes von [mm] \wurzel[n]{n}=1 [/mm] aber hier steht ja noch nen "!"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Du kannst höchstens
[mm] \lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\frac{n^n}{n!}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\wurzel[n]{n!}} [/mm]
schreiben, was Dir nicht viel bringt, da sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen [mm] \infty [/mm] streben bei [mm] n\to\infty [/mm] .
Bitte beachte, dass
[mm] \lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{n!} [/mm] ein UNENDLICHES PRODUKT ist
(Man hat für festes [mm] n\in\IN [/mm] ja n FAKTOREN.)
Es gibt Sätze, wann ein solches konvergiert. Wie hängen denn Summen und Produkte zusammen? Naja, der gute alte Logarithmus, und wenn man nun die Reihe als Folge der Teilsummen sieht...
P.S.:
Also ich weiß gerade nicht, gegen was dieses unendliche Produkt hier konvergiert bzw. da müßte ich andere Hilfsmittel zu Hilfe ziehen (bzw. das wollte ich dann tun  ), aber wo hat man noch ein unendliches Produkt?
Naja, bei [mm] e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
[/mm]
Und es wurde hier ja noch ein Tipp gegeben, also sollte man nach Zusammenhängen suchen (das tue ich aber jetzt nicht mehr, da es nicht meine Aufgabe ist, der Aufgabensteller kann ruhig auch selbst etwas arbeiten).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Kreide |
> Hallo,
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> Du kannst höchstens
> [mm]lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\frac{n^n}{n!}}=lim_{n \to \infty}\frac{n}{\wurzel[n]{n!}}[/mm]
> schreiben, was Dir nicht viel bringt, da sowohl der Zähler
> als auch der Nenner gegen [mm]\infty[/mm] streben bei n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Bitte beachte, dass
> [mm]lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{n!}[/mm] ein UNENDLICHES PRODUKT
> ist
> (Man hat für festes n [mm]\in \IN[/mm] ja n FAKTOREN.)
>
> Es gibt Sätze, wann ein solches konvergiert. Wie hängen
> denn Summen und Produkte zusammen? Naja, der gute alte
> Logarithmus, und wenn man nun die Reihe als Folge der
> Teilsummen sieht...
>
mmmmmmhh , ich weiß nicht worauf du hinauswillst... logharithemnsetze?
> P.S.:
> Also ich weiß gerade nicht, gegen was dieses unendliche
> Produkt hier konvergiert bzw. da müßte ich andere
> Hilfsmittel zu Hilfe ziehen (bzw. das wollte ich dann tun
> ), aber wo hat man noch ein unendliches Produkt?
> Naja, bei [mm]e=lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n[/mm]
>
noch mal ne frage zu dem tipp ... woher kommt da dieses [mm] \pi [/mm] her?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kreide!
> noch mal ne frage zu dem tipp ... woher kommt da dieses [mm]\pi[/mm] her?!?
Das stammt aus der ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel zur Abschätzung von hohen Fakultäten.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich wollte damit z.B. sagen, dass es einen Satz gibt:
Ist [mm] (a_n )_{n \in \IN} [/mm] eine Nullfolge mit [mm] a_n [/mm] > 0 und [mm] a_n \not=1 [/mm] für alle n, so gilt:
[mm] \produkt_{k=1}^{\infty}(1-a_k)=0 [/mm] genau dann, wenn [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k=\infty
[/mm]
Der Beweis dazu läuft, wenn man für x > 0
[mm] lim_{x\to 0}\frac{-ln(x)}{x}=1 [/mm] (Hospital) beachtet, unter Beachtung von
[mm] \produkt_{k=1}^{N}(1-a_k)=exp(\summe_{k=1}^{N} ln(1-a_k))
[/mm]
Ob Du diesen Satz gebrauchen kannst, weiß ich nicht. Da will ich gerade nicht weiter drüber nachdenken.
Aber mit dem Tipp bzw. Loddars Link zur Stirling-Formel solltest Du arbeiten können:
Du weißt (den Tipp darfst Du als "Geschenk" betrachten, also benutzen):
[mm] lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\wurzel{2*\pi*n}*(\frac{n}{e})^n}=1
[/mm]
Ich denke, Du kannst daraus folgern, was
[mm] lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{\frac{n^n}{n!}} [/mm] ist?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> das wurzelkriterum beinhalten doch betragsstriche,
> die hast du einfach gar nicht erwähnt....!?
das war ein Flüchtigkeitsfehler, der mir auch bei der Vorschaufunktion aufgefallen ist. Ich hab' mittlerweile einen neuen Beitrag geschickt, hier hatte ich nur einmal aus Versehen "senden" anstatt "Vorschau" angeklickt.
Ist zwar damit eigentlich schon korrigiert, aber dennoch Danke für den Hinweis 
Gruß,
Marcel
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