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| Aufgabe | konvergieren folgende reiehn
[mm] \summe_{n=1}^{oo}n^{m}z^{n} [/mm] , m [mm] \in \IN \cup [/mm] {0} , |z| < 1
[mm] \summe_{n=1}^{oo} \bruch{\wurzel[3]{n}}{\wurzel{(n+1)^{3}-2}} [/mm] |
bei der ersten Reihe habe ich an eine potenzreihe gedacht
dann hab ich den
[mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|n^{m}|}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty} n^{m/n}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^{m}}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n})^{m}
[/mm]
[mm] =1^{m}
[/mm]
ist der letzte schritt legal?
Wenn ich aber mit dem quotienkriterium an die sache gehe:
[mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1+n)^{m}q^{n+1}}{n^{m}q^{n}}=\limes sup_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1+n)^{m}q}{n^{m}}=q
[/mm]
beim oberen versuch hätte ich ja gar nicht auf q kommen können...
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hat jm einen tipp was man bei der 2. summe machen könnte?
(Wurzelkriterium sieht nicht so gut aus, weil keine n-te Wurzel borhanden ist
Quotientenkriterium sieht auch nicht so toll aus weil man überhaupt nichts kurzen kann)
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> konvergieren folgende reiehn
> [mm]\summe_{n=1}^{oo}n^{m}z^{n}[/mm] , m [mm]\in \IN \cup[/mm] {0} , |z| < 1
>
> bei der ersten Reihe habe ich an eine potenzreihe gedacht
> dann hab ich den
>
> [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|n^{m}|}[/mm]
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty} n^{m/n}[/mm]
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^{m}}[/mm]
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n})^{m}[/mm]
>
> [mm]=1^{m}[/mm]
>
> ist der letzte schritt legal?
Hallo,
ja, denn m ist eine feste natürliche Zahl.
Ist Dir klar, was Du jetzt erreicht hast?
Du weißt nun, daß der Konvergenzradius der Potenzreihe =1 ist, daß die Reihe also für |z|<1 konvergiert.
>
> Wenn ich aber mit dem quotienkriterium an die sache gehe:
>
> [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1+n)^{m}q^{n+1}}{n^{m}q^{n}}=\limes sup_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1+n)^{m}q}{n^{m}}=q[/mm]
Dein q ist hier ja wohl das z v. oben.
Das quotkrit geht mit dem Betrag, also hast Du
[mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(1+n)^{m}z^{n+1}}{n^{m}z^{n}}|=|z|,
[/mm]
und lt. Voraussetzung ist das < 1,
also ist das Quotkrit für Konvergenz erfüllt.
Gruß v. Angela
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> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{n})^{m}[/mm]
[mm] =(\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]({n}))^{m}
[/mm]
würde nicht dieser schritt fehlen? gibt es wirklich so eine Regel?
[mm] \wurzel[n]({n}
[/mm]
> > [mm]=1^{m}[/mm]
> >
> > ist der letzte schritt legal?
>
> Hallo,
>
> ja, denn m ist eine feste natürliche Zahl.
>
> Ist Dir klar, was Du jetzt erreicht hast?
>
> Du weißt nun, daß der Konvergenzradius der Potenzreihe =1
> ist, daß die Reihe also für |z|<1 konvergiert.
>
stimmt das wirklich man kann doch nur eine aussage darüber machen, wenn der konvergenzradius KLEINER oder GROESSER als 1 ist, aber nicht wenn er GLEICH ist, oder?
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> > [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{n})^{m}[/mm]
>
> [mm]=(\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]({n}))^{m}[/mm]
>
> würde nicht dieser schritt fehlen? gibt es wirklich so eine
> Regel?
Hallo,
ja. Such beim Produkt konvergenter Folgen.
> > Du weißt nun, daß der Konvergenzradius der Potenzreihe =1
> > ist, daß die Reihe also für |z|<1 konvergiert.
> >
> stimmt das wirklich
ja.
Es ist der Konvergenzradius ja [mm] r=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}, [/mm] in Deinem Falle also r=1.
> man kann doch nur eine aussage darüber
> machen, wenn der konvergenzradius KLEINER oder GROESSER als
> 1 ist, aber nicht wenn er GLEICH ist, oder?
Ich habe den Verdacht, daß Du irgendwie die Bestimmung des Konvergenzradius und die Prüfung auf Konvergenz mit dem Wurzelkriterium verwechselst.
Hättest Du letzteres tun wollen, hättest Du
[mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|n^mz^n|} [/mm] berechnen müssen.
(Könnte es sein, daß Ihr Potenzreihen noch gar nicht hattet und Du Dir da irgendwas zusammengeklaubt hast? Wenn Ihr Potenzreihen nicht hattet, würde ich an Deiner Stelle nicht mit "Konvergenzradius" anrücken.)
Gruß v. Angela
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potenzreihen hatte ich schon, war vorhin nur etwas verwirrt... ^^
|z|<1 divergiert die Reihe
und für |z|=1 kann man keine Aussage machen
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wie kann ich denn dann überhaupt eine aussage über |z|=1 treffen?
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> wie kann ich denn dann überhaupt eine aussage über |z|=1
> treffen?
Bewegst Du Dich im Reellen?
Dann mußt Du über Z01 und z=-1 nachdenken, also über
[mm] 1^m+2^m+3^m+4^m+...
[/mm]
und
[mm] -1^m+2^m-3^m+4^m-...
[/mm]
Gruß v. Angela
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> potenzreihen hatte ich schon, war vorhin nur etwas
> verwirrt... ^^
>
> |z|<1 divergiert die Reihe
???
???
Worauf beziehst Du Dich jetzt?
> und für |z|=1 kann man keine Aussage machen
Müssen wir ja auch nicht.
lt. Voraussetzung ist |z|<1.
Gruß v. Angela
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> > potenzreihen hatte ich schon, war vorhin nur etwas
> > verwirrt... ^^
> >
> > |z|<1 divergiert die Reihe
>
> ???
> ???
>
> Worauf beziehst Du Dich jetzt?
sorry, für |z|<1 konvergiert die reihe!!!!
>
> > und für |z|=1 kann man keine Aussage machen
>
> Müssen wir ja auch nicht.
> lt. Voraussetzung ist |z|<1.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
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> [mm]\summe_{n=1}^{oo} \bruch{\wurzel[3]{n}}{\wurzel(n+1)^{3}-2}[/mm]
Hallo,
wenn ich jetzt nicht der Wirrnis anheimgefallen bin, konvergiert die Folge [mm] \bruch{\wurzel[3]{n}}{\wurzel(n+1)^{3}-2} [/mm] doch gar nicht gegen Null!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Angela!
Da der Zählergrad mit [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] kleiner ist als der Nennergrad mit [mm] $\bruch{3}{2}$ [/mm] , handelt es sich wohl doch um eine Nullfolge.
Gruß vom
Roadrunner
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> Da der Zählergrad mit [mm]\bruch{1}{3}[/mm] kleiner ist als der
> Nennergrad mit [mm]\bruch{3}{2}[/mm] , handelt es sich wohl doch um
> eine Nullfolge.
Ogottogott, ich bin also tatsächlich wirr!
Ich hatte die "geringfügig" andere Reihe
$ [mm] \summe_{n=1}^{oo} \bruch{\wurzel[3]{n}}{\wurzel[3]{n+1}-2} [/mm] $ angeschaut, welche den enormen Vorteil hat, daß es nicht so viel zu untersuchen gibt.
Gruß v. Angela
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die 2 sollte doch noch mit unter den bruchstrich, hatte eine Klammer vergessen, sorry!
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aber das würde ja nichts daran ändern, dass es eine nullfolge ist...
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wie kann man das aber genau zeigen? irgendwie will nichts klappen, was ich ausprobiere....
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo weihnachtsman,
nur um sicher zu gehen, gemeint ist jetzt die Reihe mit der 2 unter der Wurzel oder?
Also $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt{(n+1)^3-2}$ ?
Dann multipliziere mal unter der Wurzel aus und klammere dann $n^3$ aus
$...=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{n^3+3n^2+3n-1}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{n^3\cdot{}\left(1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}\right)}}$
$=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{3}{2}}\cdot{}\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{7}{6}}\cdot{}\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}}}$
Nun ist $\frac{7}{6}>1$, also stebt $n^{\frac{7}{6}}$ gegen $\infty$ für $n\to\infty$
Damit strebt das gesamte Teil gegen $\frac{1}{\infty\cdot{}\sqrt{1+0+0-0}}=\frac{1}{\infty}=0$
Gruß
schachuzipus
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das würde ja aber nicht zeigen, dass die reihe konvergent ist, oder?
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Hallo,
nein, das zeigt nur, dass die Folge der [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Ich dachte, das sei deine Frage - zumindest hab ich's aus deinem obigen post so gedeutet 
Was die Konvergent deiner Reihe angeht, so kannst du in Anlehnung an die obigen Umformungen deine Ausgangsreihe gegen eine konvergente Majorante der Form [mm] $\sum_n\frac{1}{n^s}$ [/mm] abschätzen mit einem $s>1$
Ihr habt bestimmt in der VL gezeigt, dass die Reihen [mm] $\sum_n\frac{1}{n^s}$ [/mm] für $s>1$ konvergieren und für [mm] $s\le [/mm] 1$ divergieren
Gruß
schachuzipus
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