reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Do 13.12.2007 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | konvergiert die folgende reihe?
[mm] 1)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n}*n!}{n^{n}}
[/mm]
[mm] 2)\summe _{n=1}^{\infty} \bruch{3^{n}*n!}{n^{n}} [/mm] |
hi
die aufgaben sehen son bißchen so aus als wäre hier das wurzelkriterium
angebracht.denn komm ich auf [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{2*\wurzel[n]{n!}}{n}
[/mm]
hier weiß ich jetzt nicht wie man [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] abschätzen kann
wenn ich das quotientenkriterium anwende komm ich auf [mm] (\bruch{2^{n+1}*n!*(n+1)}{(n+1)^{n+1}})/(\bruch{2^{n}*n!}{n^{n}}) [/mm] = [mm] (\bruch{2*2^{n}*n!*(n+1)}{(n+1)^{n+1}})*(\bruch{n^{n}}{2^{n}*n!} [/mm] = [mm] \bruch{2*n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm] < [mm] \bruch{2*n^{n}}{n^{n}+\bruch{n*(n-1)}{2}*n^{n-1}} [/mm] < [mm] \bruch{2*n^{n}}{2*n^{n}} [/mm] =1
wirkt eigentlich gut,macht mir nur bei der zweiten aufgabe schwierigkeiten zu zeigen
das [mm] 3*n^{n} [/mm] < [mm] (n+1)^{n}
[/mm]
hat vielleicht jemand ´ne idee wie ob und wie [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] abschätzen kann,
oder wie man [mm] 3*n^{n} [/mm] < [mm] (n+1)^{n} [/mm] zeigen kann,und ob das ganze so überhaupt
korrekt ist ?
gruß lenz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 13.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo lenz!
Betrachten wir nun den Ausdruck aus dem Qotientenkriterium mit [mm] $\bruch{2*n^{n}}{(n+1)^{n}}$ [/mm] :
[mm] $$\bruch{2*n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\bruch{(n+1)^n}{n^n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}$$
[/mm]
Kennst Du nun den Grenzwert im Nenner?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 13.12.2007 | | Autor: | lenz |
ist glaube ich e stimmt´s?
nur dann ist aufgabe 2 nicht konvergent stimmt´s?
das hieße das ich mich verrechnet hätte
hab scheinbar die reihenfolge der binomialkoeffizienten vertauscht
naja danke wär ich nciht drauf gekommen
gruß lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Do 13.12.2007 | | Autor: | lenz |
hm sorry das oben sollte ne mitteilung werden
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Do 13.12.2007 | | Autor: | lenz |
hm ja danke
hatte ich im grunde auch vermutet
wär anders aber einfacher gewesen
lenz
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
