rek. in expl. Folge umwandeln < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 16.08.2010 | | Autor: | Phluff |
| Aufgabe | | Wandle die rekursive Folge a(n+1) = 3 * a(n) +1 in die explizite Darstellung um. |
Hallo,
folgendes habe ich notiert:
a(0)=0
a(1)=1
a(2)=4
a(3)=13
a(4)=40
a(5)=121
außerdem:
[mm] 3^1=3
[/mm]
[mm] 3^2=9
[/mm]
[mm] 3^3=27
[/mm]
[mm] 3^4=81
[/mm]
[mm] 3^5=243
[/mm]
daraus folgt: 2 * a(n) + 1 = [mm] 3^n
[/mm]
daraus folgt: a(n) = [mm] 0,5(3^n [/mm] -1)
kann mir bitte jemand erklären, wie man von den beiden Zahlenreihen auf die endgültige explizite Darstellung kommt? Falls nicht, wie geht es sonst?
Vielen Dank im Voraus, Gruß, Phluff
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Hallo Phluff,
> Wandle die rekursive Folge a(n+1) = 3 * a(n) +1 in die
> explizite Darstellung um.
> Hallo,
> folgendes habe ich notiert:
> a(0)=0
> a(1)=1
> a(2)=4
> a(3)=13
> a(4)=40
> a(5)=121
> außerdem:
> [mm]3^1=3[/mm]
> [mm]3^2=9[/mm]
> [mm]3^3=27[/mm]
> [mm]3^4=81[/mm]
> [mm]3^5=243[/mm]
> daraus folgt: 2 * a(n) + 1 = [mm]3^n[/mm]
> daraus folgt: a(n) = [mm]0,5(3^n[/mm] -1)
> kann mir bitte jemand erklären, wie man von den beiden
> Zahlenreihen auf die endgültige explizite Darstellung
> kommt? Falls nicht, wie geht es sonst?
Unverkennbar ist, daß
[mm]a(1)-a(0)=1=3^{0}[/mm]
[mm]a(2)-a(1)=3=3^{1}[/mm]
[mm]a(3)-a(2)=9=3^{2}[/mm]
[mm]a(4)-a(3)=27=3^{3}[/mm]
[mm]a(5)-a(4)=81=3^{4}[/mm]
Also allgemein:
[mm]a(n+1)-a(n)=3^{n}[/mm]
Jetzt kannst Du schreiben:
[mm]a(n+1)-a(n)=3*a(n)+1-a(n)=2*a(n)+1=3^{n}[/mm]
Daraus ergibt sich die explizite Darstellung.
> Vielen Dank im Voraus, Gruß, Phluff
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Di 17.08.2010 | | Autor: | wieschoo |
Guten Abend Nacht,
Wenn du allgemein eine rekusive Vorschrift [mm]f(n+N)=\sum_{i=0}^{N-1}a_if(n+i)[/mm] in eine explizite Vorschrift umwandeln möchtest, dann kannst du den allgemeinen Ansatz machen [mm]f(n)=\alpha \lambda^n[/mm]
Bei dir speziell gibt es aber noch ein kleines Probelm mit der Inhomogenität:a(n+1)=3a(n)+1Als erstes kann man die Inhomogenität beseitigen:
[mm]a(n+1) = 3a(n)+1[/mm]
[mm]a(n):=b(n)+c[/mm]
[mm]b(n+1)+c = 3(b(n)+c)+1[/mm]
[mm]b(n+1)=3b(n)+2c+1\Rightarrow c=0.5[/mm]
[mm]b(n+1)=3b(n)[/mm]
Das charakteristische Polynom von dem Ding ist
[mm]\lambda^{n+1}=3\lambda^n\gdw\lambda=3[/mm]Also ist nach unseren Ansatz: [mm]a(n)=b(n)+c=\alpha 3^n -0.5[/mm]Schließlich [mm]0=a(0)=\alpha3^0-0.5=\alpha-0.5\gdw\alpha=0.5[/mm]Damit haben wir alles:[mm]a(n)=0.5\cdot3^n-0.5=0.5(3^n-1)[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Di 17.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich würde so vorgehen:
Es ist
[mm] a_1= [/mm] 1
[mm] a_2=3a_1+1= [/mm] 3+1
[mm] a_3=3a_2+1=3(3+1)+1= 3^2+3^1+3^0
[/mm]
[mm] a_4= [/mm] ....= [mm] 3^3+3^2+3^1+3^0
[/mm]
Vermutung: [mm] a_n= 3^{n-1}+3^{n-2}+ ...+3^1+3^0 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
Diese Vermutung beweise nun induktiv
Jetzt denke an die endliche geometrische Summe und Du bekommst
[mm] a_n [/mm] = $ [mm] 0,5(3^n [/mm] $ -1)
FRED
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