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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Die rekursiv definierte Folge [mm] \alpha=(\alpha_{n})_n \in \IN [/mm] mit [mm] \alpha_{1}=1 [/mm] und [mm] \alpha_{n+1}=\wurzel{1+\alpha_{n}} [/mm] ist monoton wachsend und beschränkt. Bestimmen sie den Grenzwert. |
Also:
1. monoton wachsend
Dass die Folge monoton wächst habe ich bereits bewiesen, sofern [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \alpha_n=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] der Grenzwert der Folge ist.
[mm] \alpha_{n}<\alpha_{n+1}
[/mm]
[mm] \alpha_{n}<\wurzel{1+\alpha_{n}}
[/mm]
...
[mm] \alpha_{n}<\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
2. Grenzwert
Meine eigentlich Frage kommt jetzt: Wie beweise ich denn nun, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \alpha_n=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] der Grenzwert ist? Brauch ich dafür die explizite Form der Gleichung? Wenn ja, wie sieht die aus? Ich komme nicht drauf.
3. Beschränktheit
folgt aus 2. (laut Satz aus Vorlesungsscript)
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Hallo Peter!
> 1. monoton wachsend
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> Dass die Folge monoton wächst habe ich bereits bewiesen,
> sofern [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \alpha_n=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm]
> der Grenzwert der Folge ist.
Am besten weist Du die Monotonie per vollständiger Induktion nach.
> 2. Grenzwert
>
> Meine eigentlich Frage kommt jetzt: Wie beweise ich denn
> nun, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \alpha_n=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm]
> der Grenzwert ist? Brauch ich dafür die explizite Form der Gleichung?
Nein, das geht ohne explizite Form.
Unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert existiert, kannst Du folgendermaßen vorgehen, da gilt:
$A \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1+\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A \ = \ [mm] \wurzel{1+A}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $A^2 [/mm] \ = \ 1+A$
usw.
> 3. Beschränktheit
Hies ist die Argumentation aber umgekehrt. Aus Monotonie und Beschränktheit folgt die Konvergenz, also der oben ermittelte Wert für $A_$ ist dann auch wirklich der Grenzwert.
Die Beschränktheit kannst Du wiederum per vollständiger Induktion zeigen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hi Roadrunner
> > 1. monoton wachsend
>
> Am besten weist Du die Monotonie per vollständiger
> Induktion nach.
Ja, korrekt. Ich hätte noch die "Induktionsschreibweise" nutzen müssen!
> > 2. Grenzwert
> Nein, das geht ohne explizite Form.
>
> Unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert existiert,
> kannst Du folgendermaßen vorgehen, da gilt:
>
> [mm]A \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} \ = \ \wurzel{1+\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A \ = \ \wurzel{1+A}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A^2 \ = \ 1+A[/mm]
Klingt logisch.
Aber ich weiß ja nicht, ob er existiert. Das müsste ich ja auch beweisen. Normalerweise rechnen wir mit [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung...
[mm] |\alpha_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
Doch normalerweise rechnen wir auch mit einer expliziten Form. Denn mit einer rekursiven kann ich bei diesem Rechenprocedere nichts erreichen. Deshalb: Wie sieht die explizite Form aus?
> > 3. Beschränktheit
>
> Hies ist die Argumentation aber umgekehrt. Aus Monotonie
> und Beschränktheit folgt die Konvergenz, also der oben
> ermittelte Wert für [mm]A_[/mm] ist dann auch wirklich der
> Grenzwert.
> Die Beschränktheit kannst Du wiederum per vollständiger
> Induktion zeigen.
Mmh... Wir haben in der Vorlesung bewiesen:
Satz : Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis :
Sei [mm] \alpha=(\alpha_{n}) [/mm] eine konvergente Folge mit Grenzwert [mm] a\in\IR.
[/mm]
Zu jedem [mm] \varepsilon=1 [/mm] gibt es ein [mm] n_{0}\in\IN, [/mm] sodass für alle [mm] n\ge n_{0} [/mm] gilt:
[mm] |\alpha_{n}-a|<1
[/mm]
[mm] \alpha_{n}=a+\alpha_{n}-a \Rightarrow |\alpha_{n}|=|a+(\alpha_{n}-a)|
[/mm]
laut Dreiecksungleichung gilt dann:
[mm] |a+(\alpha_{n}-a)| \le |a|+|\alpha_{n}-a|<|a|+1
[/mm]
Also: [mm] \alpha_{n} [/mm] < |a|+1 für alle [mm] n\ge n_{0}
[/mm]
Für k:= max [mm] \{ \alpha_{1}, ... , \alpha_{n_{0}-1}, |a|+1\} [/mm] gilt:
[mm] |\alpha_{n}|\le [/mm] k für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Bemerkung: Bei diesem Satz gilt die Umkehrung nicht.
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Hallo Peter!
Grenzwert
> Aber ich weiß ja nicht, ob er existiert. Das müsste ich ja
> auch beweisen.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Eine Folge, die monoton ist und beschränkt, ist automatisch auch konvergent; es existiert also ein Grenzwert!
Beschränktheit
> Satz : Jede konvergente Folge ist beschränkt.
> Bemerkung: Bei diesem Satz gilt die Umkehrung nicht.
Das ist auch richtig so. Wie lautet denn die Umkehrung?
"Jede beschränkte Folge ist konvergent." Und das ist falsch!
Gegenbeispiel: [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n$
[/mm]
Aber (siehe oben): Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 23.01.2006 | | Autor: | peterpan99 |
Super!
Vielen Dank!
Jetzt stehe ich nicht mehr auf dem Schlauch und konnte die Aufgabe lösen.
Danke, Roadrunner
Gruß Peter.
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