rekursive Folge. Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Grüezi!
Einige werden folgende Aufgabe aus Büchern kennen.
Leider verstehe ich die Lösung nicht. (Kann ihr nur
teilweise folgen. Dat os net jod)
Eine Folge sei durch
[mm] a_{1}=a, a_{2}=b [/mm] und [mm] a_{n}=\bruch{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} [/mm]
gegeben. Zeige die Konvergenz der Folge.
Tipp: Betrachte die Folge der Differenzen [mm] (a_{n}-a_{n-1})
[/mm]
Es ist wohl eine rekursiv def. Folge und ich sollte den
Hinweis beachten. Die Lösung sagt:
[mm] a_{n+1}-a_{n}=\bruch{1}{2}(a_{n}+a_{n-1})-a_{n} =-\bruch{1}{2}(a_{n}-a_{n-1})
[/mm]
Hier habe ich schon Schwierigkeiten. Wie kommt man dazu?
Schaut man sich einfach nur den Ausdruck
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}) [/mm]
an, und überlegt wie man ihn in die Gestalt [mm] (a_{n}-a_{n-1})
[/mm]
bringen kann? Und warum oder wann betrachtet man die
Folge der Differenzen? Hat das etwas mit der rekursiven
def. der Folge zu tun? Sollte mir das alles irgendetwas sagen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Der "Trick" ist der folgende:
Ich schreibe die Folgenglieder als Teleskopsumme:
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^n (a_{i+1} [/mm] - [mm] a_i)$.
[/mm]
Wenn es mir nun gelingt die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} (a_{i+1} [/mm] - [mm] a_i)$ [/mm] zu zeigen, bin ich fertig. Und um diese zu zeigen, betrachte ich die Differenzen [mm] $a_{i+1} [/mm] - [mm] a_i$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Do 10.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Jetzt komme ich der Sache doch schon näher.
Habe die Bücher nach Teleskop-Summe durchsucht und
natürlich auch etwas gefunden. Rechenregeln für das
Summenzeichen.
[mm] \summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1})=a_{n}-a_{m-1} [/mm] und
[mm] \summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k+1})=a_{m}-a_{n+1}
[/mm]
Ist es das was ich lernen muss?
Ich verstehe das so:
Hiermit kann ich die Folge [mm] a_{k} [/mm] als Reihe darstellen,
welche dann Folge der Patrtialsummen genannt wird.
Hier kann man leichter Untersuchungen auf Konvergenz
anstellen. Und wenn die Reihe Konvergiert ist
auch die Folge konvergent und ich kann ihren lim
bestimmen.
Hoffe da liegt eine Fünkchen Wahrheit drin.
Danke!
Grüße Kohei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Kohei!
Ja, das ist korrekt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Allerdings ist das nur manchmal und nicht etwa immer ein geeigneter Weg...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Do 10.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo Stefan!
Das muß ich jetzt erst mal verinnerlichen. Lesen, lesen
lesen. Ein weitergehen mit den Fragen bringt zum
jetzigen Zeitpunkt nichts. Danke!
lg Kohei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Do 10.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hi!
Ich stelle fest, dass ich mich mit dem Summenzeichen
immer noch sehr schwer tue und das ich das erst
ausmerzen muss.
Es fängt schon bei der Regel an:
[mm] \summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1})=a_{n}-a_{m-1}
[/mm]
Ich möchte die Summe jetzt auschreiben, um besser
sehen zu können was da steht. Das sieht bei mir
dann so aus:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (a_{k}-a_{k-1})=(a_{1}-a_{0})+(a_{2}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{n-1})
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} (a_{n}-a_{m-1})=(a_{n}-a_{0})+(a_{n}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{m-1})
[/mm]
Glaube nicht das das so richtig ist. Oder etwa doch.
Sorry wenn ich Euch mit so nem banalem Kram aufhalte
aber ich raff's allein nicht wirklich.
Gruß Kohei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Fr 11.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kohei
Deine Probleme sind nicht eindeutig!
> Hi!
>
> Ich stelle fest, dass ich mich mit dem Summenzeichen
> immer noch sehr schwer tue und das ich das erst
> ausmerzen muss.
>
> Es fängt schon bei der Regel an:
>
> [mm]\summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1})=a_{n}-a_{m-1}[/mm]
>
> Ich möchte die Summe jetzt auschreiben, um besser
> sehen zu können was da steht. Das sieht bei mir
> dann so aus:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (a_{k}-a_{k-1})=(a_{1}-a_{0})+(a_{2}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{n-1})[/mm]
Hier geht die Summe von k=1 bis n, oben von m bis n
falls du wirklich 1 bis n meinst hast due es richtig gemacht.
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (a_{n}-a_{m-1})=(a_{n}-a_{0})+(a_{n}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{m-1})[/mm]
hier wird über k summiert, das gar icht in der Summe vorkommt., wenn du das ernst meinst ergäbe es einfach für jedes k denselben Summanden [mm] (a_{n}-a_{m-1}) [/mm] und im Ergebnis [mm] (a_{n}-a_{m-1})+(a_{n}-a_{m-1})+....+(a_{n}-a_{m-1})=n*(a_{n}-a_{m-1})
[/mm]
Wenn du über m summierst also: [mm][mm] \summe_{m=1}^{n} (a_{n}-a_{m-1}) [/mm] ist dein ausgeschriebener Ausdruck am Anfang richtig, aber der letzte Summand ist nicht [mm] (a_{n}-a_{m-1}) [/mm] sondern [mm] (a_{n}-a_{n-1}).
[/mm]
Wenn du aber meinst: (wie oben)
[mm]\summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1})[/mm]
dann hast du :
[mm]\summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1})=(a_{m}-a_{m-1})+(a_{m+1}-a_{m})+(a_{m+2}-a_{m+1})+.....(a_{n}-a_{n-1})[/mm]
Bitte lies ,was du geschrieben hast nach dem posten noch mal durch, ob alles so dasteht, wie du es genau meinst. Oder noch besser mit der Vorschau, auch wenn du da mal 3 Min. warten musst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo.
Ich glaube so wie Du es zuletzt geschrieben hast ist es richtig.
[mm] \summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1}) =(a_{m}-a_{m-1})+(a_{m+1}-a_{m})+(a_{m+2}-a_{m+1})+...+(a_{n}-a_{n-1})
[/mm]
Ich kann noch nicht so gut mit den Summenzeichen, und jetzt habe
ich halt die Rechenregel für Summenzeichen die da lautet:
[mm] \summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1}) =a_{n}-a_{m-1}
[/mm]
Für die linke Seite ist obiges wenn ich es so sehe bestimmt richtig,
aber wie sieht das für die rechte Seite aus? Kannst Du mit ihr das gleiche
tun?
Vielen Dank!
Kohei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Sa 12.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kohei
> Ich glaube so wie Du es zuletzt geschrieben hast ist es
> richtig.
>
> [mm]\summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1}) =(a_{m}-a_{m-1})+(a_{m+1}-a_{m})+(a_{m+2}-a_{m+1})+...+(a_{n}-a_{n-1})[/mm]
>
> Ich kann noch nicht so gut mit den Summenzeichen, und jetzt
> habe
> ich halt die Rechenregel für Summenzeichen die da lautet:
>
> [mm]\summe_{k=m}^{n} (a_{k}-a_{k-1}) =a_{n}-a_{m-1}[/mm]
Das ist nicht eine Rechenregel für Summenzeichen, sondern es ist eine"Teleskop"-Summe. (Der Name kommt daher, dass man sie "zusammenschieben" kann, wie eine Teleskopantenne etwa!)
Und die Formel, nicht Regel solltest du einsehen. Wenn du die ausgeschriebene Form ansiehst, solltest du sehen, dass man sie von vorne an zusammenschieben kann, weil immer in der folgenden Klammer das mit - steht, was davor mit + steht. wenn man also die 2 ersten Klammern zusammenfasst bleibt [mm] a_{m+1}- a_{m-1} [/mm] übrig. das mit der nächsten zusammen bleibt: [mm] a_{m+2}-a_{m-1} [/mm] und so weiter, bis du am Ende nur noch [mm] a_{n}-a_{m-1} [/mm] übrigbleibt.
> Für die linke Seite ist obiges wenn ich es so sehe bestimmt
> richtig,
> aber wie sieht das für die rechte Seite aus? Kannst Du mit
> ihr das gleiche
> tun?
Ich hoff, du hast das verstanden. die Rechte Seite sind doch nur noch 2 Zahlen, damit kann man nichts mehr tun!
Um mit Summenzeichen umzugehen sollte man wirklich erstmal die Summen mit Pünktchen ausschreiben. nach kurzer Zeit gewöhnt man sich an die abgekürzte Schreibweise, die ja nur Schreiben spart.
Versuchs doch mal mit folgenden Summen:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{i}{k}
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n} 3^{i-1}
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo leduart!
Danke das Du Dir soviel Mühe machst. Also das mit der
Teleskopsumme hab ich jetzt glaube ich erkannt. Danke!
Das ich sowas von allein nich sehe is fuck.
So gut?
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i} [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+...+\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{i}{k} [/mm] = [mm] \bruch{i}{1}+\bruch{i}{2}+...+\bruch{i}{n}
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{n} 3^{i-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}+1+3+...+3^{n-1}
[/mm]
Ciao Kohei
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Vielen Dank vorerst. Entschuldige die Wortwahl.
Werde in Zukunft besser darauf achten!
Bis denne
Kohei
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
Tst-tst-tst ... welch' Wortwahl hier!
