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Forum "Uni-Analysis" - rekursive Folge
rekursive Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Mi 09.06.2004
Autor: Ritze

Hallo zusammen,
Könnt ihr mir vielleicht erklären,  wie man eine rekursive Folge auf konvergenz prüft!

Die Aufgabe die ich rechnen muß lautet:

Für welche q  [mm] \in \IR [/mm] ist die Folge [mm] (b_n)_n\ge1 [/mm] mit [mm] b_1 [/mm] = 0 und
[mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] qb_n [/mm] + q konvergent? Geben sie ggf. den Grenzwert an.

Ich weiß nur leider nciht, wie man bei einer rekursiv definierten Folge den Grenzwert bestimmen kann und dachte ihr köänntet mir vielleicht einen Tipp geben.
Danke im vorraus,
Ritze


[editiert von marc]

        
Bezug
rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:43 Mi 09.06.2004
Autor: Marc

Hallo Ritze,

willkommen im MatheRaum :-)!

> Für welche q  [mm] \in \IR [/mm] ist die Folge [mm] (b_n)_n\ge1 [/mm] mit [mm] b_1 [/mm] = 0
> und
> [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] qb_n [/mm] + q konvergent? Geben sie ggf. den Grenzwert
> an.
>  
> Ich weiß nur leider nciht, wie man bei einer rekursiv
> definierten Folge den Grenzwert bestimmen kann und dachte
> ihr köänntet mir vielleicht einen Tipp geben.

Nun, hier sieht es so aus, als könnte man die Folge eine explizites Bildungsgesetz finden (übrigens ist [mm] $b_{n+1}=q*(b_n+1)$): [/mm]

Schreib' dir doch mal die ersten paar Folgenglieder auf:

[mm] b_1=0 [/mm]
[mm] b_2=q [/mm]
[mm] b_3=q*(b_2+1)=q*(q+1) [/mm]
[mm] b_4=q*(q*(q+1)+1)=q*(q^2+q+1)=q^3+q^2+q [/mm]
[mm] b_5=q*(q^3+q^2+q+1) [/mm]

Jetzt müßte es eigentich schon deutlich werden, dieses "Ding" hat sogar einen eigenen Namen, und die Bedinungen an q sind dann auch klar...

Viel Spaß beim "Rätseln" :-) Wenn du auf keinen grünen Zweig kommst oder sogar bereits die Lösung gefunden hast, melde dich bitte wieder :-)

Marc

Bezug
                
Bezug
rekursive Folge: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:41 Mi 09.06.2004
Autor: Ritze

Dankeschön erstmal,
aber ich komme blöderweise immernoch nicht weiter.
Ich kann deine Gedankengänge alle Nachvollziehen, weiß aber leider nciht was du mit diesem "Ding" meinst.
Ist das irgendein spezieller Satz, oder eine besondere Folge die man kennen muß?
Danke nochmal,
Ritze

Bezug
                        
Bezug
rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Mi 09.06.2004
Autor: Julius

Hallo,

wir sind uns ja einig, dass für $n [mm] \ge [/mm] 2$ folgendes gilt:

[mm] $b_n [/mm] = q [mm] \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-2} q^i$. [/mm]

Oder?

Hast du schon mal was von der geometrischen Reihe gehört? Bestimmt!

Es gilt:

[mm] $\sum\limits_{i=0}^m q^i [/mm] = [mm] \frac{1-q^{m+1}}{1-q}$. [/mm]

Versuche das doch jetzt mal für $m:=n-2$ anzuwenden.

Was erhältst du dann?

Liebe Grüße
Julius

Bezug
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