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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge
[mm] x_0 [/mm] = [0,1] , [mm] x_{n+1} [/mm] = 1/5 + [mm] x_n* [/mm] 1/10 * [mm] cos(x_n)
[/mm]
auf Konvergenz. |
Huhu,
meine bisherigen Überlegungen haben ergeben, dass die Folge durch Zusammensetzung stetiger funktionen + kompaktes Intervall nach oben und unten beschränkt ist.
Jetzt frag ich mich wies mit der Monotonie aussieht.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F10+*+cos%28x%29+%2B+1%2F5+%2C+x+from+0+to+1
bringt mich bei rekursiv definierten folgen ja nicht weiter oder?
ich dachte an eine Vorgehensweise mit | [mm] x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n [/mm] | aber beim Einsetzen hab ich ja das Blöde:
| [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{x_n}{10} [/mm] * [mm] cos(x_n) [/mm] - [mm] \bruch{10x_{n-1} -10/5}{cos(x_n)} [/mm] |
:/
weiß jemand wie man hier vorgeht?
also ich hab auch folgendes betrachtet:
[mm] x_{n+1} [/mm] = 1/5 + [mm] x_n* [/mm] 1/10 * [mm] cos(x_n)
[/mm]
[mm] x_{n+2} [/mm] = 1/5 + [mm] x_{n+1}* [/mm] 1/10 * [mm] cos(x_{n+1})
[/mm]
und dann ein in das andere eingesetzt:
[mm] x_{n+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} +\bruch{1}{50} [/mm] + [mm] \bruch{x_n}{100} [/mm] cos [mm] (x_n) [/mm] cos({1/5 + [mm] x_n* [/mm] 1/10 * [mm] cos(x_n)})
[/mm]
Aufgrund der Tatsache, dass der cosinus im Intervall fällt bzw kleiner gleich 1 ist, würde ich sagen hier liegt eine fallende Monotonie vor. Aber wie schreib ich das sauber auf?
Lg,
Eve
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Hallo Eve,
> Untersuchen Sie die Folge
>
> [mm]x_0[/mm] = [0,1] , [mm]x_{n+1}[/mm] = 1/5 + [mm]x_n*[/mm] 1/10 * [mm]cos(x_n)[/mm]
>
> auf Konvergenz.
> Huhu,
>
> meine bisherigen Überlegungen haben ergeben, dass die
> Folge durch Zusammensetzung stetiger funktionen + kompaktes
> Intervall nach oben und unten beschränkt ist.
Jo.
> Jetzt frag ich mich wies mit der Monotonie aussieht.
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F10+*+cos%28x%29+%2B+1%2F5+%2C+x+from+0+to+1
>
> bringt mich bei rekursiv definierten folgen ja nicht weiter
> oder?
Nicht ganz. Aber immerhin siehst Du, dass etwa gilt [mm] 0,22
> ich dachte an eine Vorgehensweise mit | [mm]x_{n+1}[/mm] - [mm]x_n[/mm] |
> aber beim Einsetzen hab ich ja das Blöde:
>
> | [mm]\bruch{1}{5}[/mm] + [mm]\bruch{x_n}{10}[/mm] * [mm]cos(x_n)[/mm] -
> [mm]\bruch{10x_{n-1} -10/5}{cos(x_n)}[/mm] |
>
> :/
>
> weiß jemand wie man hier vorgeht?
>
> also ich hab auch folgendes betrachtet:
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = 1/5 + [mm]x_n*[/mm] 1/10 * [mm]cos(x_n)[/mm]
> [mm]x_{n+2}[/mm] = 1/5 + [mm]x_{n+1}*[/mm] 1/10 * [mm]cos(x_{n+1})[/mm]
>
> und dann ein in das andere eingesetzt:
>
> [mm]x_{n+2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5} +\bruch{1}{50}[/mm] + [mm]\bruch{x_n}{100}[/mm]
> cos [mm](x_n)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
cos({1/5 + [mm]x_n*[/mm] 1/10 * [mm]cos(x_n)})[/mm]
>
>
> Aufgrund der Tatsache, dass der cosinus im Intervall fällt
> bzw kleiner gleich 1 ist, würde ich sagen hier liegt eine
> fallende Monotonie vor. Aber wie schreib ich das sauber
> auf?
Falsch vermutet.
Es gibt einen Grenzwert g, gegen den die Folge strebt. Er hängt nicht von der Wahl von von [mm] x_0 [/mm] (im gegebenen Intervall) ab.
Das Problem ist dies: ist [mm] x_0g, [/mm] so ist sie monoton fallend.
Vielleicht ermittelst Du erstmal g. 
Grüße
reverend
PS: Das geht natürlich nur numerisch. Zur Kontrolle: [mm] g\approx{0,22161997}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Sa 26.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Setze $ [mm] f(x)=\bruch{1}{5}+\bruch{x}{10}*cos(x)$
[/mm]
Zeige: f([0,1]) [mm] \subseteq [/mm] [0,1] und |f'(x)| [mm] \le [/mm] L für x [mm] \in [/mm] [0,1] mit einem L<1.
Jetzt bemühe den Fixpunktsatz von Banach.
FRED
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> Setze [mm]f(x)=\bruch{1}{5}+\bruch{x}{10}*cos(x)[/mm]
>
> Zeige: f([0,1]) [mm]\subseteq[/mm] [0,1] und |f'(x)| [mm]\le[/mm] L für x
> [mm]\in[/mm] [0,1] mit einem L<1.
>
> Jetzt bemühe den Fixpunktsatz von Banach.
>
> FRED
Huhu,
Mit der Selbstabbildung im abgeschl. Intervall mit [mm] sup_{x \in X} [/mm] |f'(x)| [mm] \le [/mm] q < 1 , q [mm] \in [/mm] [0,1) kann ich sagen, dass f einen Fixpunkt in X besitzt.
Ist dieser Fixpunkt ein ("der") Grenzwert? Oder bedeutet ein Fixpunkt, dass das Verfahren dann auch konvergiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 So 27.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Nach dem Fixpunktsatz konv. die Folge [mm] (x_n), [/mm] gegeben durch
$ [mm] x_{n+1} [/mm] $ = 1/5 + $ [mm] x_n\cdot{} [/mm] $ 1/10 * $ [mm] cos(x_n) [/mm] $
für jede Wahl von [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] gegen den Fixpunkt von f
(f hat in [0,1] genau einen Fixpunkt)
FRED
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